Tứ giác nội tiếp là gì? | Lớp 9

CHƯƠNG 3.

BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Mục tiêu

  • Kiến thức
  • Biết được khái niệm, định lí về tứ giác nội tiếp.
  • Hiểu định lí thuận và định lí đảo về tứ giác nội tiếp.
  • Kĩ năng
  • Biết hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân nội tiếp được một đường tròn.
  • Biết tính số đo góc của một tứ giác nội tiếp khi biết góc đối diện hoặc góc ngoài của góc đối diện.
  • Chứng minh được trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o.
  • Chứng minh được một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Biết xác định nhanh chóng tâm của đường tròn ngoại tiếp một tứ giác trong trường hợp tứ giác có một đỉnh nhìn một cạnh hoặc nhìn một đường chéo dưới một góc vuông.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

  • Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

Định lí

  • Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o.
  • Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o.

Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Dấu hiệu 3:Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha $.

Dấu hiệu 5: Phương tích ngoài

  • Tứ giác ABCD có hai cạnh đối bất kì AB; CD kéo dài cắt nhau tại điểm K, điểm K thỏa mãn tính chất $KA.KB=KC.KD$ thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Dấu hiệu 6: Phương tích trong

  • Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC; BD cắt nhau tại điểm K, điểm K thỏa mãn tính chất $KA.KC=KB.KD$ thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) hay đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Nếu $\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{o}}$ hoặc $\widehat{B}+\widehat{D}={{180}^{o}}$thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Nếu $\widehat{A}=\widehat{DCx}$thì tứ giác ABCD nội tiếp.

Nếu OA = OB = OC = OD thì tứ giác ABCD nội tiếp (O).

Nếu $\widehat{CAD}=\widehat{CBD}$ thì tứ giác ABCD nội tiếp (cùng chắn $\overset\frown{CD}$).

Chứng minh

Xét $\Delta KDA$ và $\Delta KBC$ có

$KA.KB=KC.KD\Rightarrow \frac{KA}{KC}=\frac{KD}{KB};\widehat{K}$ chung.

Do đó$\Delta KDA\backsim \Delta KBC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{KAD}=\widehat{KCB}$

$\Rightarrow $ Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu 2).

Chú ý: Trường hợp đặc biệt của bài toán phương tích là khi A trùng B hay nếu ta có tính chất $K{{A}^{2}}=KC.KD$thì KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ADC\]. Phần này để bạn đọc tự chứng minh hoặc xem lại bài toán chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn.

Chứng minh

Xét $\Delta KAD$ và $\Delta KBC$ có

$KA.KC=KB.KD\Rightarrow \frac{KA}{KB}=\frac{KD}{KC};$

$\widehat{AKD}=\widehat{BKC}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta KAD\backsim \Delta KBC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{CBD}$

$\Rightarrow $ Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu 4).

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

Viết một bình luận