Cách toán công việc làm chung, riêng

Dạng 4: Toán công việc làm chung, riêng

Ta chú ý rằng:

+ Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị công việc.

+ Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong một ngày đội đó làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

+ Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

+ Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.

Ví dụ.

Hai người cùng làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Trong một giờ hai người làm được \[\frac{1}{12}\] (công việc).

Số phần công việc mà mỗi người làm được trong một giờ và số giờ người đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Nếu người thứ nhất làm xong công việc trong x giờ thì trong 1 giờ thì người đó làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Người thứ hai làm xong công việc trong y giờ thì trong 1 giờ người đó làm được \[\frac{1}{y}\] (công việc).

Trong 1 giờ, cả hai người làm được \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\] (công việc).

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Hai công nhân cùng làm chung một công việc thì trong 8 giờ xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình, để hoàn thành công việc đó thì người thứ nhất cần làm nhiều hơn người thứ hai là 12 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc đó?

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ).

Điều kiện: \[x>12\]

Người thứ hai làm một mình xong công việc trong \[x-12\] (giờ).

Trong một giờ, người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] (công việc).

Trong một giờ, người thứ hai làm được \[\frac{1}{x-12}\] (công việc).

Trong một giờ, cả hai người làm được \[\frac{1}{8}\] công việc, nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{x-12}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{2x-12}{x\left( x-12 \right)}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-12x=16x-96\Leftrightarrow {{x}^{2}}-28x+96=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=24\] (thỏa mãn), và \[{{x}_{2}}=4\] (loại).

Vậy một mình người thứ nhất làm trong 24 giờ thì xong công việc.

Một mình người thứ hai làm trong 12 giờ thì xong công việc.

Ví dụ 2.

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 6 giờ 40 phút thì đầy bể. Nếu để chảy một mình thì thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 3 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Hướng dẫn giải

Đổi 6 giờ 40 phút \[=\frac{20}{3}\] giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: \[x>\frac{20}{3}\]

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là \[x+3\] (giờ).

Một giờ vòi thứ nhất chảy được \[\frac{1}{x}\] (bể).

Một giờ vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{x+3}\] (bể).

Một giờ cả hai vòi chảy được \[1:\frac{20}{3}=\frac{3}{20}\] (bể).

Ta có phương trình: \[\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{3}{20}\Leftrightarrow \frac{2x+3}{x\left( x+3 \right)}=\frac{3}{20}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+9x=40x+60\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-31x-60=0\]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{{x}_{1}}=12\] (thỏa mãn) và \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{3}\] (loại).

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 12 (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 15 (giờ).

Viết một bình luận