Cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc trong tam giác vuông

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc trong tam giác vuông

  • Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức liên quan đến tỉ số lượng giác để tính toán.

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=5\,\,cm,BC=13\,\,cm.$

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc ACB.

b) Vẽ hai phân giác BE, CF cắt nhau tại I. Tính AE, EC, AF, BF.

Hướng dẫn giải

a) Xét ABC vuông tại A có:

$AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{A}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}-{{5}^{2}}}=12\,\,cm.$

Trong tam giác ABC vuông tại A:

$\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13},\cos \widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13},\tan \widehat{ACB}=\frac{\sin \widehat{ACB}}{\cos \widehat{ACB}}=\frac{5}{12}.$

$\cot \widehat{ACB}=\frac{1}{\tan \widehat{ACB}}=\frac{12}{5}.$

b) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{CE}\Rightarrow \frac{AE}{5}=\frac{CE}{13}=\frac{AE+CE}{5+13}=\frac{AC}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow AE=\frac{10}{3}cm,EC=\frac{26}{3}cm.$

$\frac{AC}{AF}=\frac{CB}{BF}\Rightarrow \frac{AF}{12}=\frac{BF}{13}=\frac{AF+BF}{12+13}=\frac{AB}{25}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow AF=\frac{12}{5}cm,BF=\frac{13}{5}cm.$

+) Tính chất đường phân giác trong tam giác: Nếu AD là phân giác của $\widehat{BAC}$,$\left( D\in BC \right)$ thì $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$

+) Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$.

Ví dụ 2.

Cho hình vuông ABCD có $AD=12\,cm$, điểm M trên BC, điểm N trên AB sao cho $AN=BM=5\,cm.$

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc AMB.

b) Nối DN cắt AM tại K. Chứng minh $AM=DN$.

c) Chứng minh $AM\bot DN$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta AMB$ vuông tại B có:

$AB=12\,cm,BM=5\,cm,$ suy ra

$AM=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}=13\,cm.$

Ta có:

$\sin \widehat{AMB}=\frac{AB}{AM}=\frac{12}{13};\cos \widehat{AMB}=\frac{BM}{AM}=\frac{5}{13};$

$\tan \widehat{AMB}=\frac{\sin \widehat{AMB}}{\cos \widehat{AMB}}=\frac{12}{5};$

$\cot \widehat{AMB}=\frac{1}{\tan \widehat{AMB}}=\frac{5}{12}.$

b) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta DNA$ :

$\left\{ \begin{array} & AD=AB=12\,cm,AN=MB=5\,cm \\ \widehat{NDA}=\widehat{MBA}=90{}^\circ \\ \end{array} \right.\Rightarrow \Delta AMB=\Delta DNA\left( c.g.c \right)\Rightarrow AM=DN.$

c) Cách 1: Ta có: $\tan \widehat{BAM}=\frac{BM}{AB},\cot \widehat{AND}=\frac{AN}{AD}.$

Do $BM=AN;AB=AD\Rightarrow \tan \widehat{BAM}=\cot \widehat{AND}$ nên trong tam giác AKN hai góc $\widehat{BAM}$và góc $\widehat{AND}$phụ nhau, suy ra $\widehat{AKN}=90{}^\circ \Rightarrow AM\bot DN$

Cách 2: ta có $\Delta AMB=\Delta DNA\Rightarrow \widehat{ADN}=\widehat{NAK}.$

Tam giác $\Delta DNA$ vuông tại A nên $\widehat{ADN}+\widehat{AND}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{NAK}+\widehat{ANK}=90{}^\circ .$

Tam giác $\Delta AKN$ có $\widehat{NAK}+\widehat{ANK}+\widehat{AKN}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{AKN}=90{}^\circ \Rightarrow AM\bot DN.$

Ví dụ 3.

Cho tam giác ABC đường cao BMCN cắt nhau tại H.

a) Biết $MA=6\,cm,AB=10\,cm$. Tính các tỉ số lượng giác của góc A.

b) Chứng tỏ rằng $\widehat{ABM}=\widehat{ACN},AH\bot BC.$

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH, BC. Chứng tỏ rằng $IJ\bot MN.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $MA=6\,cm,AB=10\,cm,$ suy ra

$MB=8\,cm.$

Trong $\Delta ABM$ vuông tại M:

$\sin \widehat{MAB}=\frac{MB}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5},$

\[\cos \widehat{MAB}=\frac{MA}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\]

$\tan \widehat{MAB}=\frac{\sin \widehat{MAB}}{\cos \widehat{MAB}}=\frac{4}{3},$

$\cot \widehat{MAB}=\frac{1}{\tan \widehat{AMB}}=\frac{3}{4}.$

b) Xét $\Delta AMB$ có $\widehat{ABM}+\widehat{BAC}=90{}^\circ $.

$\Delta ANC$ có $\widehat{ACN}+\widehat{BAC}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cùng phụ với góc $\widehat{BAC}$).

Xét $\Delta ABC$ có hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H, suy ra H là trực tâm $\Delta ABC.$ Vậy $AH\bot BC.$

c) Ta có $\Delta AMH,\Delta ANH$ lần lượt vuông tại M, N, điểm I là trung điểm của AH.

Theo định lý trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Suy ra $MI=NI=\frac{AH}{2}.$

Tương tự với cặp tam giác NBC, MBC lần lượt vuông tại N, M, có J là trung điểm của BC, suy ra $MJ=NJ=\frac{BC}{2}.$

Suy ra I, J thuộc trung trực của MN. Vậy $IJ\bot MN.$

Viết một bình luận