Cách so sánh hai số

Dạng 5. So sánh hai số

  • Phương pháp giải

Thực hiện các phép biến đổi đơn giản biểu

thức chứa căn bậc hai rồi so sánh hai kết quả.

Chú ý: Sử dụng tính chất:

Nếu \[A>B\ge 0\] thì \[\sqrt{A}>\sqrt{B}\]

Ví dụ:

Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh

\[\left. a \right)\]\[5\sqrt{6}\] và \[6\sqrt{5}.\]

\[\left. b \right)\]\[\frac{2}{\sqrt{5}}\] và \[\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.\]

Hướng dẫn giải

\[\left. a \right)\] Ta có \[5\sqrt{6}=\sqrt{25.6}=\sqrt{150}\]

và \[6\sqrt{5}=\sqrt{36.5}=\sqrt{180}.\]

mà \[180>150\] nên \[\sqrt{180}>\sqrt{150}\Rightarrow 6\sqrt{5}>5\sqrt{6}.\]

Vậy \[6\sqrt{5}>5\sqrt{6}.\]

\[\left. b \right)\] Ta có \[\frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{32}{40}}\] và \[\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{8}}=\sqrt{\frac{25}{40}}.\]

Mà \[\frac{32}{40}>\frac{25}{40}\] nên \[\sqrt{\frac{32}{40}}>\sqrt{\frac{25}{40}}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}>\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.\]

Vậy \[\frac{2}{\sqrt{5}}>\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.\]

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần

\[-\sqrt{69};\text{ }-6\sqrt{2};\text{ }\frac{1}{2}\sqrt{12};\text{ }\frac{2}{3}\sqrt{18}.\]

Hướng dẫn giải

So sánh hai số âm \[-\sqrt{69}\] và \[-6\sqrt{2}\].

Ta có \[-6\sqrt{2}=-\sqrt{36.2}=-\sqrt{72}\].

Vì \[72>69\] nên \[\sqrt{72}>\sqrt{69}\Rightarrow -\sqrt{72}<-\sqrt{69}\Rightarrow -6\sqrt{2}<-\sqrt{69}.\]

Vì \[-\sqrt{69}\] và \[-6\sqrt{2}\] là hai số âm nên \[-6\sqrt{2}\] là số bé nhất.

So sánh hai số dương \[\frac{1}{2}\sqrt{12};\text{ }\frac{2}{3}\sqrt{18}.\]

Ta có \[\frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{12}=\sqrt{\frac{12}{4}}=\sqrt{3}\] và \[\frac{2}{3}\sqrt{18}=\sqrt{\frac{4}{9}}.\sqrt{18}=\sqrt{\frac{4.18}{9}}=\sqrt{8}.\]

Vì \[8>3\] nên \[\sqrt{8}>\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt{12}<\frac{2}{3}\sqrt{18}\].

Vậy \[-6\sqrt{2}<-\sqrt{69}<\frac{1}{2}\sqrt{12}<\frac{2}{3}\sqrt{18}.\]

Viết một bình luận