Cách nhận biết tứ giác nội tiếp

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1. Nhận biết tứ giác nội tiếp

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho $\Delta ABC$ có hai đường cao BM; CN. Chứng minh tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm

Gọi K là trung điểm của BC.

Xét $\Delta BMC$ có $\widehat{BMC}={{90}^{o}}$ (giả thiết);

MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow KM=KB=KC$ (tính chất tam giác vuông). (*)

Tương tự xét $\Delta BNC$, ta đuọc KN = KB = KC. (**)

Từ (*) và (**) suy ra $B;N;M;C\in \left( K;\frac{BC}{2} \right)$

$\Rightarrow $ Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn.

Cách 2: Chứng minh hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.

Ta có $\widehat{BMC}={{90}^{o}}$ (giả thiết);

$\widehat{BNC}={{90}^{o}}$ (giả thiết)

$\Rightarrow M;N$cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông

$\Rightarrow M;N$ nằm trên đường tròn đường kính BC.

Hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện hoặc sử dụng định lí tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180o.

Ta có $\widehat{BMA}={{90}^{o}}$ (giả thiết);

$\widehat{ANC}={{90}^{o}}$ (giả thiết)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ANC$ có $\widehat{AMB}=\widehat{ANC}={{90}^{o}}$ và $\widehat{BAC}$ chung.

Do đó $\Delta AMB\backsim \Delta ANC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$.

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ABC$ có $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ và $\widehat{BAC}$ chung.

Do đó $\Delta AMN\backsim \Delta ABC\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{ABC}$.

Tứ giác BNMC có góc ngoài tại đỉnh M bằng góc trong tại đỉnh B.

Vậy tứ giác BNMC nội tiếp.

Ngoài ra có thể chỉ ra tứ giác BMNC có $\widehat{NBC}+\widehat{NMC}={{180}^{o}}$ nên tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Cách 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích ngoài

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ANC$ có $\widehat{AMB}=\widehat{ANC}={{90}^{o}}$ và $\widehat{BAC}$ chung.

Do đó $\Delta AMB\backsim \Delta ANC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Leftrightarrow AM.AC=AN.AB$

$\Rightarrow $ Tứ giác BNMC nội tiếp.

Cách 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích trong

Gọi giao điểm của BMNCT.

Xét $\Delta NTB$ và $\Delta MTC$ có $\widehat{BMC}=\widehat{BNC}={{90}^{o}}$ và $\widehat{NTB}=\widehat{MTC}$ (đối đỉnh).

Do đó $\Delta NTB\backsim \Delta MTC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{NT}{MT}=\frac{TB}{TC}\Leftrightarrow TN.TC=TM.TB$.

$\Rightarrow $ Tứ giác BNMC nội tiếp.

Viết một bình luận