Cách giải bài toán liên quan tới thay đồi thừa số tích bằng cách lập hệ phương trình

Dạng 8: Giải bài toán liên quan tới thay đồi thừa số tích bằng cách lập hệ phương trình

  • Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1. Lập hệ phương trình.

– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

(thừa số, tích…).

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Chú ý: Nếu \[a.b=c\] thì \[a=\frac{c}{b}\]; \[b=\frac{c}{a}\left( a,b\ne 0 \right)\]

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ

: Trong phòng học có một số bàn ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi phòng học có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải

Gọi số ghế trong phòng học là x (ghế) và số học sinh là y (học sinh) \[\left( x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\].

Xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ ngồi.

Suy ra \[3x=y-6\Rightarrow 3x-y=-6.\] (1)

Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế.

Suy ra \[4x=y+4\Rightarrow 4x-y=4.\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & 3x-y=-6 \\ 4x-y=4 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 3x-y=-6 \\ x=10 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=36 \\ x=10 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phòng học có 10 ghế và 36 học sinh.

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1

. Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe được điều đi làm công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển? (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi số xe của đoàn xe vận tải dự định ban đầu là \[x\] xe, số tấn hàng mà mỗi xe dự định trở được là \[y\] (tấn) \[\left( x\in {{\mathbb{N}}^{*}},y>0 \right)\].

Đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng nên \[x.y=15.\] (1)

Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định.

Suy ra \[\left( x-1 \right).\left( y+0,5 \right)=15\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & x.y=15 \\ x.y+0,5x-y=15,5 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x.y=15 \\ 0,5x-y=0,5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x.y=15 \\ x-2y=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x.y=15 \\ x=2y+1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & \left( 2y+1 \right).y=15 \\ x=2y+1 \\ \end{array} \right.\]

Xét phương trình \[\left( 2y+1 \right).y=15\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+y-15=0\]

\[\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+6y-5y-15=0\Leftrightarrow 2y\left( y+3 \right)-5\left( y+3 \right)=0\]

\[\Leftrightarrow \left( 2y-5 \right)\left( y+3 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & 2y-5=0 \\ y+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & y=\frac{5}{2} \\ y=-3 \\ \end{array} \right.\]

Vì \[y>0\] nên \[y=\frac{5}{2}\].

Thay \[y=\frac{5}{2}\] và \[x=2y+1\], ta được \[x=6\].

Vậy thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển.

Ví dụ 2

. Một trang sách, nếu tăng 3 dòng mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi. Nếu bớt đi 3 dòng mỗi dòng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi. Tính số chữ của trang sách.

Hướng dẫn giải

Gọi số dòng chữ của trang sách là x (dòng), số chữ ở mỗi dòng ở trang sách là y (chữ) \[\left( x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)\].

Số chữ trong trang sách là xy chữ.

Nếu tăng 3 dòng mỗi dòng bớt 2 chữ thì số chữ của trang không đổi.

Suy ra \[\left( x+3 \right)\left( y-2 \right)=xy\Leftrightarrow -2x+3y=6\] (1)

Nếu bới đi 3 dòng mỗi dòng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi.

Suy ra \[\left( x-3 \right)\left( y+3 \right)=xy\Leftrightarrow 3x-3y=9\Leftrightarrow x-y=3\] (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & -2x+3y=6 \\ x-y=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & -2x+3y=6 \\ 2x-2y=6 \\ \end{array} \right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & y=23 \\ x-y=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=15 \\ y=12 \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số chữ của trang sách là \[12.15=180\] (chữ).

Viết một bình luận