Cách chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

  • Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng $a$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O;R \right)$ tiếp điểm là $C$ ta có thể làm theo cách sau:

Ví dụ:

Cho tam giác $ABC$ biết $AB=3,AC=4,BC=5$. Vẽ đường tròn $\left( B,BA \right)$

. Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Hướng dẫn giải

Cách 1. $OC\bot a$ và $C\in \left( O \right)$

Xét tam giác $ABC$ ta có

$B{{C}^{2}}=25,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=25\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$.

Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Vì $A$ thuộc đường tròn $\left( B,BA \right)$ và $AC\bot AB$ nên ta có $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn.

Cách 2. Vẽ $OH\bot a$. Chứng minh $OH=OC=R$.

Cách 3. Vẽ tiếp tuyến ${a}’$ của $\left( O \right)$.

Ta chứng minh $a\equiv {a}’$.

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho tam giác $ABC$vuông tại $A$, Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$. Các tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$tại $B,C$ cắt đường thẳng $d$theo thứ tự tại điểm $D,E$. Chứng minh $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác $ABC$vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác là trung điểm $BC$.

Vì $BD$ và $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $BD\text{//}CE$.

Tứ giác $BCED$ có $BD\text{//}CE$và $\widehat{B}=\widehat{C}=90{}^\circ $ là hình thang vuông.

Gọi $I$ là trung điểm của $DE$, vì $O$là trung điểm của $BC$ nên $OI$ là đường trung bình trong hình thang $BCED$.

Suy ra $OI\text{//}BD\text{//}CE$ và $OI=\frac{1}{2}\left( BD+CE \right)$.

Xét tam giác $BOD$ và tam giác $AOD$ có

$DO$ là cạnh chung

$\widehat{B}=\widehat{A}=90{}^\circ $

\[OA=OB=R\]

Do đó $\Delta BOD=\Delta AOD$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow DA=DB$.

Chứng minh tương tự ta được $EC=EA$.

Khi đó $BD+CE=DA+EA=DE$.

Suy ra $OI=\frac{1}{2}\left( BD+CE \right)$$=\frac{1}{2}DE=ID=IE$.

Vậy ba điểm $D,O,E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DE$.

Ta có $OI\bot BC$ (vì $IO\text{//}DB$ và $DB\bot BC$).

Suy ra khoảng cách từ tâm của đường tròn đường kính $DE$ đến đường thẳng $BC$ bằng $\frac{1}{2}DE$.

Vậy $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$.

Viết một bình luận