.

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

• Phương pháp giải

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã biết để chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông.

Ví dụ: Cho $\Delta ABC$ có đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng $AB.AM=AC.AN.$ Hướng dẫn giải Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABH$ vuông tại H, có HM là đường cao, ta có $A{{H}^{2}}=AB.AM.$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ACH$ vuông tại H, đường cao $HN$ có $A{{H}^{2}}=AC.AN.$ Suy ra $AB.AM=AC.AN.$

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$ (1)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ACH vuông tại H, ta có:

$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ (3).

Ta lại có $\Delta ABC$ vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$

Cách 2: Ta có: $B{{C}^{2}}={{\left( BH+CH \right)}^{2}}=B{{H}^{2}}+2.BH.CH+C{{H}^{2}}$.

Mà $BH.CH=A{{H}^{2}}$ nên $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$

Ví dụ 2:

Cho tứ giác lồi ABCD có $AC\bot BD$ tại O.

Chứng minh rằng: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py-ta-go cho các $\Delta OAB$, $\Delta OBC,\Delta OCD,\Delta ODA$ vuông tại O

Ta có $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}};O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}};O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}=C{{D}^{2}};O{{D}^{2}}+O{{A}^{2}}=A{{D}^{2}}$

Cộng hai vế các đẳng thức trên suy ra

$A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}} \right)$

Ví dụ 3:

Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. Kéo dài AM cắt tia DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E. Chứng minh:

a) $AE=AN.$ b) $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{EAB}=\widehat{DAN}=90{}^\circ -\widehat{MAB}.$ xét $\Delta AND$ và $\Delta AEB$ có: $\left\{ \begin{array} & AD=AB \\ \widehat{ADN}=\widehat{ABE}=90{}^\circ ;\widehat{DAN}=\widehat{EAB} \\ \end{array} \right.$ Suy ra $\Delta AND=\Delta AEB\Rightarrow AN=AE$. b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta AEM$ vuông tại A, đường cao AB, ta có: $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}$. Mà $AE=AN$ (theo chứng minh trên) nên $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}.$