.
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
-
Phương pháp giải
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã biết để chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông. |
Ví dụ:Cho $\Delta ABC$ có đường cao AH. Gọi M, N là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng $AB.AM=AC.AN.$ Hướng dẫn giảiÁp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABH$ vuông tại H, có HM là đường cao, ta có $A{{H}^{2}}=AB.AM.$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ACH$ vuông tại H, đường cao $HN$ có $A{{H}^{2}}=AC.AN.$ Suy ra $AB.AM=AC.AN.$ |
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:
$A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}$ (1)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác ACH vuông tại H, ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ (2).
Từ (1) và (2), suy ra: $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ (3).
Ta lại có $\Delta ABC$ vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (4).
Từ (3) và (4) suy ra $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$
Cách 2: Ta có: $B{{C}^{2}}={{\left( BH+CH \right)}^{2}}=B{{H}^{2}}+2.BH.CH+C{{H}^{2}}$.
Mà $BH.CH=A{{H}^{2}}$ nên $B{{C}^{2}}=2A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}.$
Ví dụ 2:
Cho tứ giác lồi ABCD có $AC\bot BD$ tại O.
Chứng minh rằng: $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}} \right).$
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Py-ta-go cho các $\Delta OAB$, $\Delta OBC,\Delta OCD,\Delta ODA$ vuông tại O
Ta có $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}};O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=B{{C}^{2}};O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}=C{{D}^{2}};O{{D}^{2}}+O{{A}^{2}}=A{{D}^{2}}$
Cộng hai vế các đẳng thức trên suy ra
$A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}+D{{A}^{2}}=2\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}} \right)$
Ví dụ 3:
Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. Kéo dài AM cắt tia DC tại N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia CB tại E. Chứng minh:
a) $AE=AN.$ b) $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}.$
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $\widehat{EAB}=\widehat{DAN}=90{}^\circ -\widehat{MAB}.$ xét $\Delta AND$ và $\Delta AEB$ có: $\left\{ \begin{array} & AD=AB \\ \widehat{ADN}=\widehat{ABE}=90{}^\circ ;\widehat{DAN}=\widehat{EAB} \\ \end{array} \right.$ Suy ra $\Delta AND=\Delta AEB\Rightarrow AN=AE$. b) Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta AEM$ vuông tại A, đường cao AB, ta có: $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}$. Mà $AE=AN$ (theo chứng minh trên) nên $\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}.$ |
|