Cách biểu thức dạng \[\frac{\mathbf{c}}{\sqrt{\mathbf{a}}\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{b}}}\]

Bài toán 3: Biểu thức dạng \[\frac{\mathbf{C}}{\sqrt{\mathbf{A}}\mathbf{\pm }\sqrt{\mathbf{B}}}\]

với \[A,B\ge 0;A\ne B\]

  • Phương pháp giải

Với các biểu thức A, B, C \[A\ge 0;B\ge 0\]

và \[A\ne B\] thì

\[\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C\left( \sqrt{A}\mp \sqrt{B} \right)}{A-B}\].

Hai biểu thức \[\sqrt{A}+\sqrt{B}\] và \[\sqrt{A}-\sqrt{B}\] gọi

là hai biểu thức liên hợp với nhau.

Ví dụ:

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

\[\left. a \right)\]\[\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}.\]

\[\left. b \right)\]\[\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}.\]

Hướng dẫn giải

\[\left. a \right)\]\[\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{5-2}\]

\[\text{ }=\frac{3\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{3}\]

\[\text{ }=\sqrt{5}+\sqrt{2}.\]

\[\left. b \right)\]\[\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}{{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{2}}-1}\]

\[\text{ }=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}{4-2\sqrt{6}}\]

\[\text{ }=\frac{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}+1 \right)\left( 4+2\sqrt{6} \right)}{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{6} \right)}^{2}}}\]

\[\text{ }=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-4\sqrt{3}-4\sqrt{2}+4+2\sqrt{6}}{-8}\]

\[\text{ }=\frac{2\sqrt{2}+4+2\sqrt{6}}{-8}\]

\[\text{ }=-\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}.\]

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

a) \[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}.\]

b) \[\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.\]

c) \[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}.\]

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}.\]

b) \[\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{{{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}{3-2}=3+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+2=5+2\sqrt{6}.\]

c) \[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}-1 \right)}{3-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}-1 \right)}{3-2+2.1.\sqrt{2}-1}\]

\[\text{ }=\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}-1 \right)}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{2}.\]

Viết một bình luận