Cách biểu thức dạng \[\frac{\mathbf{c}}{\sqrt{\mathbf{a}}\mathbf{\pm b}}\] với

Bài toán 2: Biểu thức dạng \[\frac{\mathbf{C}}{\sqrt{\mathbf{A}}\mathbf{\pm B}}\] với

\[A\ge 0;A\ne {{B}^{2}}\]

  • Phương pháp giải

Với các biểu thức A, B, C \[A\ge 0;A\ne {{B}^{2}}\] thì

\[\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C\left( \sqrt{A}\mp B \right)}{A-{{B}^{2}}}\].

Ví dụ:

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

\[\left. a \right)\]\[\frac{3}{\sqrt{5}-1}\].

\[\left. b \right)\]\[\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\].

\[\left. c \right)\]\[\frac{1}{\sqrt{x}-1}\].

\[\left. d \right)\]\[\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}\].

Hướng dẫn giải

\[\left. a \right)\] Ta có \[\frac{3}{\sqrt{5}-1}=\frac{3\left( \sqrt{5}+1 \right)}{5-{{1}^{2}}}=\frac{3\left( \sqrt{5}+1 \right)}{4}.\]

\[\left. b \right)\] Ta có

\[\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{{{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}}{2-1}=\frac{1+2\sqrt{2}+2}{1}=3+2\sqrt{2}.\]

\[\left. c \right)\] Điều kiện xác định: \[x\ge 0;x\ne 1.\]

Ta có \[\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}.\]

\[\left. d \right)\] Điều kiện xác định: \[x\ge 0\], ta có

\[\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left( \sqrt{x}-3 \right).\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x-{{2}^{2}}}=\frac{x-5\sqrt{x}+6}{x-4}.\]

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

a) \[\frac{1}{\sqrt{2}+1}\]. b) \[\frac{11}{\sqrt{2}-1}\]. c) \[\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{8}+1}\]. d) \[\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}\].

Hướng dẫn giải

a) \[\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1.\]

b) \[\frac{11}{\sqrt{2}-1}=\frac{11\left( \sqrt{2}+1 \right)}{2-1}=11\left( \sqrt{2}+1 \right).\]

c) \[\frac{2\sqrt{2}-1}{\sqrt{8}+1}=\frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1}=\frac{{{\left( 2\sqrt{2}-1 \right)}^{2}}}{8-1}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}.\]

d) \[\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}=\frac{\left( \sqrt{5}+1 \right).\left( \sqrt{5}+3 \right)}{5-{{3}^{2}}}=\frac{8+4\sqrt{5}}{-4}=-2-\sqrt{5}.\]

Ví dụ 2. Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau

a) \[\frac{1}{\sqrt{x}-2}\]. b) \[\frac{11}{\sqrt{x}-1}\]. c) \[\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\]. d) \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\].

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định : \[x\ge 0,x\ne 4\]

\[\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}.\]

b) Điều kiện xác định : \[x\ge 0,x\ne 1\]

\[\frac{11}{\sqrt{x}-1}=\frac{11\left( \sqrt{x}+1 \right)}{x-1}.\]

c) Điều kiện xác định : \[x\ge 0,x\ne 1\]

\[\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left( 2\sqrt{x}-1 \right).\left( \sqrt{x}+1 \right)}{x-1}=\frac{2x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}-1}{x-1}=\frac{2x+\sqrt{x}-1}{x-1}.\]

d) Điều kiện xác định : \[x\ge 0,x\ne 9\]

\[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right).\left( \sqrt{x}+3 \right)}{x-9}=\frac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}+3}{x-9}=\frac{x+4\sqrt{x}+3}{x-9}.\]

Viết một bình luận