Bài tập Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến
  • Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho đường tròn $\left( O \right)$ có bán kính $OA=R$, dây $BC$ vuông góc với $OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$.

a) Tứ giác $OCAB$ là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại $B$, cắt đường thẳng $OA$ tại $E$. Tính độ dài $BE$ theo $R$.

Câu 2:

Cho hình thoi $ABCD$ có góc $BAD$ bằng $60{}^\circ $ và cạnh $AB$= 2 cm. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Dựng đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$.

a) Tính bán kính của đường tròn $\left( O \right)$.

b) Tính độ dài tiếp tuyến xuất phát từ $A$ đến đường tròn $\left( O \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Tam giác $ABC$ có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ song song với $BC$ bị $AB,AC$ cắt thành đoạn thẳng $MN=2,4$cm. Tính độ dài $BC$.

Câu 4:

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, đường cao $AH$, biết $HB=20$cm, $HC=45$cm. Vẽ đường tròn tâm $A$bán kính $AH$. Kẻ các tiếp tuyến $BM,CN$ với đường tròn ($M$ và $N$ là các tiếp điểm , khác $H$).

a) Tính diện tích tứ giác $BMNC$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $CN$ và $HA$. Tính độ dài $AK,KN$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BC$. Tính độ dài $IM,IB$.

Dạng 2: Tính độ dài của một đoạn tiếp tuyến

Câu 1.

a) Theo giả thiết $M$ là trung điểm của $OA$.

Vì $OA\bot BC$ tại $M$nên $M$cũng là trung điểm của $BC$.

Xét tứ giác $OCAB$ có hai đường chéo $OA$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$của mỗi đường.

Suy ra $OCAB$ là hình bình hành.

Mặt khác $OA\bot BC$.

Vậy tứ giác $OCAB$ là hình thoi.

b) Vì $OCAB$ là hình thoi nên $OC=OB=AB=AC$.

Suy ra $OC=OB=AB=R$.

Do đó tam giác $OAB$ đều cạnh $R$ và $\widehat{AOB}=60{}^\circ $.

Vì $EB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$nên $EB\bot OB$.

Xét tam giác vuông $OBE$ có $\tan \widehat{EOB}=\frac{EB}{OB}\Leftrightarrow EB=OB.\tan \widehat{EOB}=R.\tan 60{}^\circ =R\sqrt{3}$.

Câu 2.

a) Dựng $OM\bot AB\Rightarrow OM=R$.

Vì tam giác $ABD$ có $AB=AD=2$cm và $\widehat{BAD}=60{}^\circ $ nên tam giác $ABC$ đều.

Suy ra $BD=2$cm và $AO=\sqrt{3}$ cm.

Xét tam giác vuông $AOB$ có đường cao $OM$ và

$\frac{1}{O{{M}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{1}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cm).

Vậy bán kính của đường tròn $\left( O \right)$ là $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm.

b) Ta có $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Xét tam giác vuông $AOB$ có $A{{O}^{2}}=AM.AB\Leftrightarrow 3=AM.2\Leftrightarrow AM=1,5$ (cm).

Vậy $AM=1,5$(cm).

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $\left( O \right)$ với $AB,AC,BC$.

Suy ra $OD\bot AB,OE\bot AC,OF\bot BC$.

Xét tam giác vuông $BOD$ và $BOF$ có

$BO$ là cạnh chung;

$OD=OF=R$.

Suy ra $\Delta BOD=\Delta BOF\Rightarrow BD=BF$.

Tương tự ta có $AD=AE,CE=CF$.

Gọi $I$ là tiếp điểm của $MN$ với đường tròn $\left( O \right)$.

Chứng minh tương tự suy ra $MD=MI,NE=NI$.

Ta có $AD+BF+CF=\frac{1}{2}\left( AB+AC+BC \right)=\frac{1}{2}.20=10$(cm).

Đặt $BC=x,AD=y$ ta có $x+y=10$. (1)

Chu vi tam giác $AMN$ là

$AM+MN+AN=AM+MI+IN+AN=AD+AE=2AD=2y$.

Vì $MN\text{//}BC$nên $\Delta AMN\sim \Delta ABC$ .

Suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{\text{chu vi }\Delta AMN\text{ }}{\text{chu vi }\Delta ABC}\Rightarrow \frac{2,4}{x}=\frac{2y}{20}\Leftrightarrow xy=24$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$x\left( 10-x \right)=24\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-24=0\Leftrightarrow \left( x-6 \right)\left( x-4 \right)=0$

$\Leftrightarrow x=6$ hoặc $x=4$.

Vậy $BC=4$cm hoặc $BC=6$cm.

Câu 4.

a) Vì $BM,CN$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( A;AH \right)$ nên $AM\bot BM,AN\bot CN$.

Xét hai tam giác vuông $AHC$ và $ANC$ có

$AC$ cạnh chung;

$AH=AN$ (cùng bằng bán kính đường tròn tâm $A$)

$\Rightarrow \Delta AHC=\Delta ANC$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{CAN}$ và $CN=CH=45$ cm.

Chứng minh tương tự ta có $\Delta ABM=\Delta ABH\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{BAH}$và $BM=BH=20$ cm.

Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{BAH}+\widehat{HAC}+\widehat{CAN}=2\left( \widehat{BAH}+\widehat{HAC} \right)=2\widehat{BAC}=180{}^\circ $.

Vậy $M,A,N$thẳng hàng.

Tứ giác $BMNC$ có $BM\text{//}CN$ (cùng vuông góc với $MN$) nên tứ giác $BMNC$ là hình thang vuông tại $M,N$.

Ta có ${{S}_{BMNC}}={{S}_{AMB}}+{{S}_{AHB}}+{{S}_{AHC}}+{{S}_{ACN}}=2\left( {{S}_{ABH}}+{{S}_{AHC}} \right)=2{{S}_{ABC}}$.

Xét tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AH$ có $A{{H}^{2}}=BH.CH=20.45=900\Leftrightarrow AH=30$(cm).

Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BC.AH=\frac{1}{2}\left( BH+CH \right).AH=\frac{1}{2}\left( 20+45 \right).30=975\text{ (c}{{\text{m}}^{2}})$.

Vậy diện tích hình thang vuông $BMNC$ là ${{S}_{BMNC}}=2{{S}_{ABC}}=1950\text{ (c}{{\text{m}}^{2}})$.

b) Đặt $AK=x,KN=y$.

Xét hai tam giác vuông $ANK$ và $CHK$ có góc $HKC$ là góc chung.

Suy ra $\Delta ANK\sim \Delta CHK$ (g.g).

$\Rightarrow \frac{AK}{CK}=\frac{KN}{KH}=\frac{AN}{CH}\Leftrightarrow \frac{x}{y+45}=\frac{y}{x+30}=\frac{2}{3}$.

Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} & \frac{x}{y+45}=\frac{2}{3} \\ \frac{y}{x+30}=\frac{2}{3} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & 3x-2y=90 \\ 2x-3y=-60 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & x=78 \\ y=72 \\ \end{array} \right.$.

Vậy $AK=78$cm, $KN=72$ cm.

c) Đặt $IM=u,IB=v$.

Xét hai tam giác vuông $IMB$ và $INC$ có góc $MIB$ là góc chung.

Suy ra $\Delta IMB\sim \Delta INC$ (g.g).

$\Rightarrow \frac{IM}{IN}=\frac{IB}{IC}=\frac{MB}{NC}\Leftrightarrow \frac{u}{u+60}=\frac{v}{v+65}=\frac{4}{9}$.

Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array} & \frac{u}{u+60}=\frac{4}{9} \\ \frac{v}{v+65}=\frac{4}{9} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & u=48 \\ v=52 \\ \end{array} \right.$.

Vậy $IM=48$ cm, $IB=52$ cm.

Viết một bình luận