Bài tập So sánh hai số
  • Bài tập tự luyện dạng 5

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy so sánh

a) \[\frac{1}{\sqrt{2}}\] và \[\frac{2}{\sqrt{5}}\]. b) \[3\sqrt{5}\] và \[4\sqrt{2}\].

c) \[-2\sqrt{22}\] và \[-3\sqrt{10}\] d) \[\frac{5}{4}\sqrt{2}\] và \[\frac{1}{2}\sqrt{11}\]

Câu 2:

Cho \[A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{100}}.\] So sánh A với 10.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Chứng minh \[\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{2019\sqrt{2020}}<2.\]

Câu 4:

Chứng minh \[\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}<1.\]

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1:

a) Ta có \[\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}\] và \[\frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}\].

\[\frac{4}{5}>\frac{1}{2}\] nên \[\sqrt{\frac{4}{5}}>\sqrt{\frac{1}{2}}\].

Vậy \[\frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{2}{\sqrt{5}}.\]

b) Ta có \[3\sqrt{5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}\] và \[4\sqrt{2}=\sqrt{16.2}=\sqrt{32}\].

Vì \[45>32\] nên \[\sqrt{45}>\sqrt{32}\].

Vậy \[3\sqrt{5}>4\sqrt{2}.\]

c) Ta có \[-2\sqrt{22}=-\sqrt{4.22}=-\sqrt{88}\] và \[-3\sqrt{10}=-\sqrt{9.10}=-\sqrt{90}\]

Vì \[88<90\] nên \[\sqrt{88}<\sqrt{90}\Rightarrow -\sqrt{88}>-\sqrt{90}\]

Vậy \[-2\sqrt{22}>-3\sqrt{10}.\]

d) Ta có \[\frac{5}{4}\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{16}}\sqrt{2}=\sqrt{\frac{25}{8}}\] và \[\frac{1}{2}\sqrt{11}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{11}=\sqrt{\frac{11}{4}}=\sqrt{\frac{22}{8}}.\]

Vậy \[\frac{5}{4}\sqrt{2}>\frac{1}{2}\sqrt{11}.\]

Câu 2:

Ta có \[\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}};…;\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}.\]

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức và đẳng thức trên, ta được:

\[\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{100}}+…+\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{100}{\sqrt{100}}=10.\]

Vậy \[A>10.\]

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Đặt \[A=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+…+\frac{1}{2019\sqrt{2020}}.\]

Trước hết, ta xét số hạng tổng quát \[\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}}\] (\[k\ge 1\]), ta có

\[\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k\left( k+1 \right)}=\sqrt{k}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)=\sqrt{k}\left( \frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \right)\]

\[=\left( 1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \right)<2\left( \frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \right)\]

Ta được

\[\frac{1}{2\sqrt{1}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \right);\]

\[\frac{1}{3\sqrt{2}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}} \right);\]

\[\frac{1}{2019\sqrt{2020}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}} \right).\]

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được

\[\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+\ldots +\frac{1}{2019\sqrt{2020}}<2\left( \frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}} \right)\]

\[\Rightarrow A<2\left( 1-\frac{1}{\sqrt{2020}} \right)<2.\]

Vậy \[A<2.\]

Câu 4:

Đặt \[B=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+…+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\]

Xét số hạng tổng quát (với mỗi số tự nhiên \[k\ge 1\])

\[\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{\left[ \left( k+1 \right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1} \right].\left[ \left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1} \right]}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{{{\left[ \left( k+1 \right)\sqrt{k} \right]}^{2}}-{{\left[ k\sqrt{k+1} \right]}^{2}}}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k{{\left( k+1 \right)}^{2}}-{{k}^{2}}\left( k+1 \right)}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k\left( k+1 \right)\left( k+1-k \right)}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}-k\sqrt{k+1}}{k\left( k+1 \right)}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\sqrt{k}}{k\left( k+1 \right)}-\frac{k\sqrt{k+1}}{k\left( k+1 \right)}\]

\[=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.\]

Với mỗi số tự nhiên \[k\ge 1\], ta có \[\frac{1}{\left( k+1 \right)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.\left( * \right)\]

Áp dụng công thức \[\left( * \right)\], ta có

\[\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}};\]

\[\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}};\]

……………………………….

\[\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}.\]

Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được

\[B=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+…+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\]

\[=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}\]

\[=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{100}}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}.\]

Vậy \[B<1.\] Điều phải chứng minh.

Viết một bình luận