Bài tập Chứng minh tiếp tuyến, độ dài, tính số đo góc
  • Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $\left( O \right)$vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ ($A,B$ là tiếp điểm). Cho biết góc $AMB$ bằng $40{}^\circ $. Tính góc $AOB$ .

Câu 2:

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Kẻ các tiếp tuyến \[Ax,By\] cùng phía với nửa đường tròn đối với $AB$. Từ điểm $M$trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt $Ax$ và $By$ lần lượt tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh tam giác $COD$ là tam giác vuông và $MC.MD=O{{M}^{2}}$.

b) Cho biết $OC=BA=2R$. Tính $AC$ và $BD$ theo $R$ .

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho hai đường tròn $\left( O;R \right)$ và $\left( {O}’;{R}’ \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O}’;{R}’ \right)$. Biết $R=12$cm, ${R}’=5$ cm.

a) Chứng minh ${O}’A$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O;R \right)$.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng \[O{O}’,AB\].

Câu 4:

Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$đường kính $AB$ và một điểm $M$ nằm trên nửa đường tròn đó. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$. Biết $AH=2$cm, $MH=4$cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng $AB,MA,MB$.

Câu 5:

Cho đường tròn $\left( O;3\text{cm} \right)$ và điểm $A$có $OA=6$cm. Kẻ tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn ($B,C$là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $OH$.

b) Qua điểm $M$bất kỳ thuộc cung nhỏ $BC$, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt $AB$ và $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$. Tính chu vi tam giác $AEF$.

c) Tính số đo góc $EOF$.

Dạng 2: Chứng minh tiếp tuyến, độ dài, tính số đo góc

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên

$MA\bot OA,MB\bot OB$.

Xét tứ giác $MAOB$ có $\widehat{O}+\widehat{A}+\widehat{M}+\widehat{B}=360{}^\circ $

$\Leftrightarrow \widehat{O}+90{}^\circ +90{}^\circ +40{}^\circ =360{}^\circ $

$\Leftrightarrow \widehat{O}=140{}^\circ $.

Vậy $\widehat{AOB}=140{}^\circ $.

Câu 2.

a) Vì tiếp tuyến tại $A$ và $M$ của đường tròn cắt nhau tại $C$ nên $\widehat{COA}=\widehat{COM}$.

Vì tiếp tuyến tại $B$ và $M$ của đường tròn cắt nhau tại $D$ nên $\widehat{DOB}=\widehat{DOM}$.

Ta có $\widehat{AOB}=\widehat{AOC}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180{}^\circ $.

$\Leftrightarrow 2\widehat{COM}+2\widehat{DOM}=180{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{COM}+\widehat{DOM}=90{}^\circ $.

Xét tam giác $COD$ có $\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=90{}^\circ $.

Vậy tam giác $COD$ vuông tại $O$.

Vì $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ có tiếp điểm là $M$nên $OM\bot CD$.

Vì tam giác $COD$ vuông tại $O$ và có đường cao $OM$ nên ta có $O{{M}^{2}}=MC.MD$.

b) Xét tam giác $AOC$ vuông tại $A$ có $AO=R,OC=2R$.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông $AOC$ có $O{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow 4{{R}^{2}}={{R}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow AC=R\sqrt{3}$.

Vì tiếp tuyến tại $A$và $M$của đường tròn $\left( O \right)$ nên $CA=CM=R\sqrt{3}$.

Xét tam giác vuông $COD$có $OM$ là đường cao và

$O{{C}^{2}}=CM.CD\Leftrightarrow 4{{R}^{2}}=R\sqrt{3}.CD\Leftrightarrow CD=\frac{4\sqrt{3}R}{3}$.

Suy ra $MD=CD-CM=\frac{4\sqrt{3}R}{3}-\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}R}{3}$.

Vì tiếp tuyến tại $B$và $M$của đường tròn cắt nhau tại $D$ nên

$DM=DB=\frac{\sqrt{3}R}{3}$.

Cách khác: Chứng minh tam giác $AOC$ đồng dạng với tam giác $BDO$.

Vậy $AC=R\sqrt{3},BD=\frac{\sqrt{3}}{3}R$.

Bài tập nâng cao

Câu 3.

a) Vì $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {{O}’} \right)$ nên ta có $OA\bot {O}’A$.

Vì \[{O}’A\] cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ và ${O}’A\bot OA$ nên \[{O}’A\]là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $OA{O}’$ có

\[O{{{O}’}^{2}}=O{{A}^{2}}+A{{{O}’}^{2}}\Leftrightarrow O{{{O}’}^{2}}={{12}^{2}}+{{5}^{2}}\Leftrightarrow O{O}’=13\](cm).

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ với $O{O}’$.

Ta có $OA=OB=R$ và ${O}’A={O}’B={R}’$ nên $O{O}’$ là đường trung trực của $AB$.

Do đó $H$là trung điểm của $AB$và $AH\bot O{O}’$.

Xét tam giác vuông $OA{O}’$, đường cao $AH$ có

$AO.A{O}’=AH.O{O}’\Leftrightarrow 12.5=AH.13\Leftrightarrow AH=\frac{60}{13}$ (cm).

Vậy $AB=2AH=\frac{120}{13}$ cm và $O{O}’$= 13 cm.

Câu 4.

Xét tam giác vuông $MHO$ có $OM=R,MH=4\text{ cm, }OH=R-2$.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $OHM$có

$O{{M}^{2}}=M{{H}^{2}}+H{{O}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( R-2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow R=5$cm.

Do đó $AB=2R=10$ cm và $BH=8$ cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $AHM$có

$A{{M}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\Leftrightarrow A{{M}^{2}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}\Leftrightarrow AM=2\sqrt{5}$(cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $BHM$có

$B{{M}^{2}}=B{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}\Leftrightarrow {{8}^{2}}+{{4}^{2}}=80\Leftrightarrow BM=4\sqrt{5}$(cm).

Vậy $AB=10$cm, $AM=2\sqrt{5}$cm, $BM=4\sqrt{5}$cm.

Câu 5.

a) Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AB\bot OB$.

Ta có $OB=OC=R$ và $AB=AC$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó $OA$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ nên $OA\bot BC$ và $H$ là trung điểm $BC$.

Xét tam giác $OAB$ vuông tại $B$và có đường cao $BH$ nên ta có:

$O{{B}^{2}}=OH.OA\Leftrightarrow {{3}^{2}}=OH.6\Leftrightarrow OH=1,5$ (cm).

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $AOB$có

$O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}+B{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{6}^{2}}={{3}^{2}}+B{{A}^{2}}\Leftrightarrow AB=3\sqrt{3}$(cm) $\Rightarrow AC=3\sqrt{3}$(cm).

Vì tiếp tuyến tại $B$và $M$ của đường tròn $\left( O \right)$cắt nhau tại $E$ nên $EB=EM$.

Vì tiếp tuyến tại $C$và $M$ của đường tròn $\left( O \right)$cắt nhau tại $F$ nên $FC=FM$.

Chu vi tam giác $AEF$ là

$AE+AF+EF=AE+AF+EM+MF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=6\sqrt{3}$(cm).

c) Vì tiếp tuyến tại $B$và $M$ của đường tròn $\left( O \right)$cắt nhau tại $E$ nên $\widehat{BOE}=\widehat{EOM}$.

Vì tiếp tuyến tại $C$và $M$ của đường tròn $\left( O \right)$cắt nhau tại $F$ nên $\widehat{COF}=\widehat{FOM}$.

Ta có $\widehat{BOC}=\widehat{BOE}+\widehat{EOM}+\widehat{MOF}+\widehat{FOC}=2\left( \widehat{EOM}+\widehat{MOF} \right)=2\widehat{EOF}\Leftrightarrow \widehat{EOF}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$.

Xét tam giác vuông $OAB$ có $\cos \widehat{BOA}=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \widehat{BOA}=60{}^\circ $.

Vì tiếp tuyến tại $B$và $C$ cắt nhau tại $A$ nên $OA$ là tia phân giác góc $BOC$ hay $\widehat{BOA}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$.

Vậy $\widehat{EOF}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BOA}=60{}^\circ $.

Viết một bình luận