Bài tập Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
  • Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho đường tròn $\left( O;R \right)$, dây $AB$ không là đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$, cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn tại điểm $C$. Chứng minh $CB$ tiếp tuyến của đường tròn.

Câu 2:

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$. Gọi \[Ax,By\] là 2 tia tiếp tuyến của $\left( O \right)$. (\[Ax,By\] cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$). Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$, trên tia $By$ lấy điểm $D$ sao cho góc $COD$ bằng $90{}^\circ $. Chứng minh rằng $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. Trên đoạn $AB$ lấy điểm $M$, gọi $H$ là trung điểm của $AM$. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AB$cắt $\left( O \right)$ tại $C$. Đường tròn đường kính $MB$ cắt $CB$ tại $I$. Chứng minh $IH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MB$.

Câu 4:

Cho đường tròn $\left( O \right)$đường kính $AB$. Gọi $d$ và ${d}’$ là các tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn, $C$ là một điểm bất kỳ thuộc $d$. Đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $O$ cắt ${d}’$ở $D$. Chứng minh rằng $CD$là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

Câu 1.

Gọi $I$là giao điểm của $AB$và $OC$.

Xét tam giác $OIA$ và $OIB$ có

$OI$ cạnh chung;

$\widehat{OIA}=\widehat{OIB}=90{}^\circ $ ;

$OA=OB=R$.

Do đó $\Delta OIA=\Delta OIB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{AOI}=\widehat{BOI}$.

Xét tam giác $OAC$và $OBC$ có

$OC$ cạnh chung;

$\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$(chứng minh trên) ;

$OB=OA=R$.

Do đó $\Delta OAC=\Delta OBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}=90{}^\circ $ hay $CB\bot OB$.

Vậy $CB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Câu 2.

Xét tam giác vuông $ACO$ và tam giác vuông $BOD$ có

$\widehat{ACO}=\widehat{BOD}$ (cùng phụ góc $AOC$).

Suy ra $\Delta ACO\sim \Delta BOD$ (g.g).

$\frac{AC}{BO}=\frac{CO}{OD}\Leftrightarrow \frac{AC}{AO}=\frac{CO}{OD}$.

Xét tam giác vuông $ACO$ và tam giác vuông $OCD$ có $\frac{AC}{AO}=\frac{OC}{OD}$

$\Rightarrow \Delta ACO\sim \Delta OCD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ACO}=\widehat{OCD}$.

Dựng $OI\bot CD$.

Xét 2 tam giác vuông $CAO$ và $CIO$ có

$CO$ là cạnh chung;

$\widehat{ACO}=\widehat{OCD}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta CAO=\Delta CIO$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow OA=OI=R$.

Vậy $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (định lý).

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Xét tam giác $ABC$ có $OA=OB=OC=R$ nên $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Tương tự tam giác $MIB$ vuông tại $I$.

Suy ra tứ giác $ACIM$ là hình thang vuông tại $C$, $I$.

Dựng $HK\bot BC$ tại $K\Rightarrow AC\text{//}HK\text{//}MI$ (cùng vuông góc với $BC$).

Vì $H$ là trung điểm của $AM$ nên $K$ là trung điểm của $CI$.

Xét tam giác $HCI$ có $HK$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $HCI$cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{HCI}=\widehat{HIC}$.

Tam giác $BIJ$ cân tại $J$ nên $\widehat{{{I}_{2}}}=\widehat{IBM}$.

Ta có $\widehat{{{I}_{1}}}+\widehat{{{I}_{2}}}=\widehat{HCI}+\widehat{IBM}=90{}^\circ $.

Khi đó $\widehat{HIJ}=180{}^\circ -\left( \widehat{{{I}_{1}}}+\widehat{{{I}_{2}}} \right)=90{}^\circ $ .

Vậy $HI\bot IJ$ hay $HI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $MB$.

Câu 4.

Dựng $OH\bot CD$ và gọi $K$ là giao điểm của $OD$ với đường thẳng $d$.

Xét tam giác vuông $OAK$ và $OBD$ có

$OA=OB$ (cùng bằng bán kính);

$\widehat{AOK}=\widehat{BOD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta OAK=\Delta OBD\Rightarrow OK=OD$.

Xét tam giác $CKD$ có $CO$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác $CKD$ cân tại $C$ và $CO$ cũng là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$.

Xét tam giác vuông $CAO$ và $CHO$ có $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ và $OC$ là cạnh chung.

Suy ra $\Delta CAO=\Delta CHO\Rightarrow OA=OH$.

Vì $OH$ là bán kính của đường tròn $\left( O \right)$ và $OH$ vuông góc với $CD$ tại $H$ nên $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Viết một bình luận