• Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình vẽ bên:

a) Tính diện tích bề mặt của chi tiết máy đó.

b) Tính thể tích của chi tiết máy đó.

Câu 2:

Cho một chi tiết máy như hình vẽ bên:

a) Tính thể tích của chi tiết máy.

b) Tính diện tích bề mặt của chi tiết máy.

Câu 3:

Cho hình vẽ bên với các kích thước trên hình:

a) Tính diện tích xung quanh của hình.

b) Tính thể tích của hình.

Bài tập nâng cao

Câu 4:

Một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, bán kính hình tròn đáy của hình trụ là 3 cm.

a) Tính thể tích hình cầu.

b) Tính thể tích hình trụ.

Câu 5:

Một hình trụ có chiều cao bằng 8cm nội tiếp trong một hình cầu. Cho biết diện tích mặt cầu là $100\pi c{{m}^{2}}$.

Hãy tính:

a) Diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Thể tích hình trụ.

Câu 6:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $BC=2a$ và $\widehat{B}=30{}^\circ $. Quay tam giác vuông này một vòng quanh cạnh AB ta được một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình nón ấy bằng diện tích mặt cầu có đường kính AB.

ĐÁP ÁN

Bài tập cơ bản

Câu 1:

a) Diện tích xung quanh chi tiết máy chính là diện tích xung quanh của hai nửa hình cầu với diện tích xung quanh của hình trụ nên ta có:

${{S}_{xq}}=4.\pi .{{R}^{2}}+\pi R.h\Rightarrow {{S}_{xq}}=4.\pi {{.3}^{2}}+2.\pi .3.5=66\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$

b) Thể tích của chi tiết máy chính là thể tích của hình trụ với thể tích của hai nửa hình cầu, nên ta có:

$V=\pi {{R}^{2}}.h+\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\Rightarrow V=\pi {{.3}^{2}}.5+\frac{4}{3}\pi {{.3}^{3}}=81\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Câu 2:

a) Thể tích của chi tiết máy chính là thể tích của hai hình trụ, nên ta có:

$V=\pi .{{R}^{2}}.{{h}_{1}}+\pi .{{r}^{2}}.{{h}_{2}}\Rightarrow V=\pi {{.6}^{2}}.2+\pi {{.1}^{2}}.8=80\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

b) Diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao 8cm và diện tích toàn phần của hình trụ có chiều cao 2cm, nên ta có:

$S=2\pi .1.8+2\pi .6.2+2\pi {{.6}^{2}}=112\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 3:

a) Hình nón có chiều cao bằng 8cm, bán kính hình tròn đáy bằng 6cm, nên độ dài đường sinh

$l=\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}=10\left( cm \right)$.

Diện tích xung quanh của hình chính bằng diện tích xung quanh của hình nón và hình trụ, nên ta có:

${{S}_{xq}}=\pi .6.10+2\pi .6.6=132\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

b) Thể tích của hình chính bằng tổng của thể tích hình nón với thể tích hình trụ, nên ta có:

$V=\frac{1}{3}\pi {{.6}^{2}}.8+\pi {{.6}^{2}}.6=312\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 4:

Hình cầu được đặt khít vào trong hình trụ nên có bán kính $R=3$ (cm).

a) Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có:

$V=\frac{4}{3}\pi .{{R}^{3}}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{.3}^{3}}=36\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

b) Chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu và bằng $2.3=6\left( cm \right)$.

Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ ta có:

$V=\pi .{{R}^{2}}.h\Rightarrow V=\pi {{.3}^{2}}.6=54\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Câu 5:

Ta có diện tích mặt cầu là $100\pi c{{m}^{2}}$, nên ta có: $4\pi {{R}^{2}}=100\pi \Rightarrow R=5\left( cm \right)$.

Hình trụ nội tiếp hình cầu nên có bán kính bằng

$r=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{8}{2} \right)}^{2}}}=3\left( cm \right)$.

a) Diện tích toàn phần của hình trụ là:

${{S}_{tp}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{tp}}=2\pi .3.8+2\pi {{.3}^{2}}=66\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

b) Thể tích hình trụ là:

$V=\pi .{{r}^{2}}.h\Rightarrow V=\pi {{.3}^{2}}.8=72\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Câu 6:

Tam giác vuông ABC có:

$\widehat{A}=90{}^\circ ;\,BC=2a;\,\widehat{B}=30{}^\circ $ suy ra $AC=a;\,AB=a\sqrt{3}$.

Diện tích toàn phần của hình nón là:

${{S}_{tp}}=\pi R.l+\pi {{R}^{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{tp}}=\pi .a.2a+\pi .{{a}^{2}}=3\pi {{a}^{2}}$ (1)

Diện tích mặt cầu có đường kính AB là:

$S=4\pi {{R}^{2}}\Rightarrow S=4.\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3\pi {{a}^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra ${{S}_{tp}}=S$.