Bài tập Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu
  • Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Một hình cầu có bán kính bằng 6cm. Tính diện tích mặt cầu.

Câu 2:

Một hình cầu có thể tích bằng $972\pi \,c{{m}^{3}}$. Tính đường kính của hình cầu.

Câu 3:

Một mặt cầu có diện tích bằng $16\pi \,c{{m}^{2}}$. Tính thể tích của hình cầu.

Câu 4:

Một mặt cầu có diện tích bằng $36\pi \,c{{m}^{2}}$. Tính bán kính của mặt cầu.

Câu 5:

Một mặt cầu có số đo diện tích ${{S}_{1}}=9\pi \,c{{m}^{2}}$ và hình cầu đó có số đo thể tích gấp 4 lần số đo diện tích. Tính độ dài bán kính hình cầu. 

Câu 6:

Một hình cầu có số đo thể tích bằng $288\pi \,c{{m}^{3}}$. Tính đường kính của hình cầu.

Bài tập nâng cao

Câu 7:

Cho $\Delta ABC$ đều có cạnh $AB=10cm$, đường cao AH. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh đường thẳng AH.

Câu 8:

Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu là S (tính bằng cm2) đúng bằng số đo thể tích V của nó (tính bằng cm3). Tính bán kính của hình cầu.

ĐÁP ÁN

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, ta có:

$S=4\pi {{R}^{2}}\Rightarrow S=4.\pi {{.6}^{2}}=144\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 2:

Hình cầu có thể tích bằng $972\pi \,c{{m}^{3}}$, nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi {{R}^{2}}=972\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=729\Rightarrow R=27\left( cm \right)$.

Độ dài đường kính của hình cầu đó là $d=2.R=54\left( cm \right)$.

Câu 3:

Mặt cầu có diện tích bằng $16\pi \,c{{m}^{2}}$, nên ta có:

$4\pi {{R}^{2}}=16\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=4\Rightarrow R=2\left( cm \right)$

Áp dụng công thức tính thể tích của hình cầu ta có:

$V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32}{3}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Câu 4:

Mặt cầu có diện tích bằng $36\pi \,c{{m}^{2}}$, nên ta có:

$4\pi {{R}^{2}}=36\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=9\Rightarrow R=3\left( cm \right)$

Câu 5:

Hình cầu có số đo thể tích gấp 4 lần số đo diện tích của một mặt cầu, nên ta có diện tích mặt cầu là:

$S=4.9\pi =36\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$

Ta lại có: $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3.36\pi }{4\pi }=27\Rightarrow R=3\left( cm \right)$.

Câu 6:

Hình cầu có số đo thể tích bằng $288\pi c{{m}^{3}}$, nên ta có:

$\frac{4}{3}\pi .{{R}^{3}}=288\pi \Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{3.288\pi }{4\pi }=216\Rightarrow R=6\left( cm \right)$.

Đường kính của hình cầu đó là: $d=2.R=12\left( cm \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 7:

Ta có $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}\Rightarrow AH=\sqrt{{{10}^{2}}-{{5}^{2}}}=5\sqrt{3}\left( cm \right)$.

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta được một hình cầu có bán kính $R=\frac{2}{3}AH\Rightarrow R=\frac{2}{3}.5\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\left( cm \right)$.

Diện tích mặt cầu được tạo thành là:

$S=4\pi {{R}^{2}}\Rightarrow S=4\pi .{{\left( \frac{10\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{400\pi }{3}\left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 8:

Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu đúng bằng số đo thể tích của nó, nên ta có:

$4\pi {{R}^{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\Rightarrow R=3$ (đvđd).

Viết một bình luận