Bài toán 2. Tính các đại lượng liên quan thông qua công thức tính thể tích của hình nón, hình nón cụt

• Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng công thức tính thể tích hình nón, hình nón cụt. Bước 2: Kiểm tra các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm. Bước 3: Từ công thức tính thể tích hình nón, hình nón cụt. Suy ra các đại lượng cần tìm.

Ví dụ: Cho hình nón có thể tích là $54\pi c{{m}^{3}}$, chiều cao của hình nón là 6cm. Tính bán kính hình tròn đáy của hình nón đó. Hướng dẫn giải Thể tích hình nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$. Hình nón có thể tích $54\pi c{{m}^{3}}$, nên ta có: $\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=54\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{3.54\pi }{6\pi }=27$ $\Rightarrow R=3\sqrt{3}\left( cm \right)$ Vậy bán kính đường tròn đáy là $3\sqrt{3}$ cm.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, biết $AB=5cm$. Quay $\Delta ABC$ quanh cạnh AB ta được hình nón có thể tích bằng $15c{{m}^{3}}$. Tính độ dài đường sinh của hình nón đó.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, ta có:

$\frac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h=15\pi \Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{3.15\pi }{5\pi }=9$

$\Rightarrow R=3\left( cm \right)$

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác ABC, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{{{5}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{34}\left( cm \right)$

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là $\sqrt{34}$ cm.

Ví dụ 2.

Cho hình nón cụt có độ dài đường cao là 5 cm, bán kính hình tròn đáy lớn là 8cm, thể tích hình nón cụt đó bằng $135\pi c{{m}^{3}}$. Tính độ dài bán kính hình tròn đáy bé.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt, ta có:

$\frac{1}{3}\pi .h\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)=135\pi \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi .5\left( {{8}^{2}}+{{r}^{2}}+8r \right)=135\pi $

$\Leftrightarrow {{r}^{2}}+8r+64=81\Leftrightarrow {{r}^{2}}+8r-17=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & r=-4+\sqrt{33}\,\left( \text{cho }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ n} \right) \\ r=-4-\sqrt{33}\,\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\ \end{array} \right.$

Vậy độ dài bán kính hình tròn đáy bé của hình nón là $r=-4+\sqrt{33}$ cm.