Bài toán 1. Tính thể tích của hình nón, hình nón cụt

• Phương pháp giải

Bước 1: Viết công thức tính thể tích của hình nón. Bước 2: Xem xét những đại lượng nào đã biết, những đại lượng nào cần tính. Bước 3: Thay đầy đủ giá trị của các đại lượng vào công thức và thực hiện phép tính.

Ví dụ: Cho hình nón biết bán kính hình tròn đáy bằng 5cm, chiều cao bằng 9cm. Tính thể tích hình nón đó. Hướng dẫn giải Thể tích hình nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h$ Ta có $R=5cm;\,h=9cm$ Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, ta có: $V=\frac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h\Rightarrow V=\frac{1}{3}.\pi {{.5}^{2}}.9=75\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho hình nón có đường kính hình tròn đáy bằng 8 cm, độ dài đường sinh là 5cm. Tính thể tích hình nón.

Hướng dẫn giải

Đường kính hình tròn đáy bằng 8 cm, suy ra bán kính hình tròn đáy

$R=\frac{8}{2}=4\left( cm \right)$

Ta có bán kính hình tròn đáy, đường sinh và đường cao của hình nón tạo với nhau một tam giác vuông với cạnh huyền là đường sinh của hình nón, nên theo định lý Py-ta-go ta có:

${{l}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}\Rightarrow {{h}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}={{3}^{2}}\Rightarrow h=3\left( cm \right)$ .

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón, ta có:

$V=\frac{1}{3}\pi .{{R}^{2}}.h\Rightarrow V=\frac{1}{3}.\pi {{.4}^{2}}.3=16\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$.

Ví dụ 2.

Một cái xô bằng inox có dạng hình nón cụt đựng nước có bán kính hai đáy là 8cm và 20cm, độ dài đường sinh bằng 36cm. Khi xô đựng đầy nước thì dung tích của xô là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Để tính được dung tích của xô ta cần biết thêm chiều cao OO’ của xô.

Ta có: $O{O}’=BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{A}^{2}}}$

$\Rightarrow O{O}’=\sqrt{{{36}^{2}}-{{\left( 20-8 \right)}^{2}}}=24\sqrt{2}\left( cm \right)$

Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt, ta có:

$V=\frac{1}{3}\pi .h.\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$

$\Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi .24\sqrt{2}.\left( {{8}^{2}}+{{20}^{2}}+8.20 \right)=4992\sqrt{2}\pi \left( c{{m}^{3}} \right)$

Vậy thể tích của xô là $4992\sqrt{2}\pi \,c{{m}^{3}}$.