• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A biết $AB=3cm,\,BC=5cm$ người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC được hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A biết $AB=6cm,\,AC=8cm$. Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC được hình nón. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Câu 3:

Một hình nón có diện tích xung quanh là $36\pi c{{m}^{2}}$, bán kính đáy là 3cm. Tính độ dài đường sinh.

Câu 4:

Một hình nón có diện tích xung quanh là $48\pi c{{m}^{2}}$, chu vi hình tròn đáy là $16\pi cm$. Tính độ dài đường sinh.

Câu 5:

Một hình nón cụt có diện tích xung quanh là $56\pi c{{m}^{2}}$, độ dài đường sinh là 8cm. Tính tổng bán kính hai đáy của hình nón cụt.

Câu 6:

Một hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính của hai đáy là 12cm, độ dài đường sinh là 7cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt.

Bài tập nâng cao

Câu 7:

Một hình nón có đường sinh dài 9cm và diện tích xung quanh là $72\pi c{{m}^{2}}$.

a) Tính bán kính của hình nón đó.

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón đó.

Câu 8:

Một chiếc xô hình nón cụt làm bằng tôn để đựng nước. Các bán kính đáy là 13cm và 9cm, chiều cao của xô là 24cm. Tính diện tích tôn để làm xô (không kể diện tích các miếng ghép).

Câu 9:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại C. Biết $BC=a,\,AC=b$. Quay tam giác vuông này một vòng lần lượt quanh cạnh AC và BC được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh B. Hãy so sánh tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy.

ĐÁP ÁN

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một hình nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có:

${{S}_{xq}}=\pi R.l\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi 3.5=15\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 2:

Khi quay tam giác ABC quay xung quanh AC ta được một hình nón có độ dài đường sinh $BC=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=10\left( cm \right)$, bán kính hình tròn đáy là 6cm.

Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón ta có:

${{S}_{tp}}=\pi .R.l+\pi {{R}^{2}}\Rightarrow {{S}_{tp}}=\pi .6.10+\pi {{.6}^{2}}=96\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 3:

Hình nón có diện tích xung quanh là $36\pi {{m}^{2}}$, bán kính đáy là 3cm, nên ta có:

$\pi Rl=36\pi \Rightarrow l=\frac{36\pi }{\pi .3}=12\left( cm \right)$.

Câu 4:

Chu vi hình tròn đáy của hình nón là $16\pi $, nên ta có: $2\pi R=16\pi \Rightarrow R=8\left( cm \right)$.

Hình nón có diện tích xung quanh là $48\pi c{{m}^{2}}$, ta có: $\pi R.l=48\pi \Rightarrow l=\frac{48\pi }{\pi .8}=6\left( cm \right)$.

Câu 5:

Hình nón cụt có diện tích xung quanh $56\pi c{{m}^{2}}$, độ dài đường sinh 8cm, nên ta có:

$\pi .l\left( R+r \right)=56\pi \Rightarrow R+r=\frac{56\pi }{\pi 8}=7\left( cm \right)$.

Câu 6:

Hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính của hai đáy là 12cm, nên ta có: $R+r=\frac{12}{2}=6\left( cm \right)$.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt, ta có:

${{S}_{xq}}=\pi .\left( R+r \right).l\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi .6.7=42\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 7:

a) Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, ta có:

$\pi .R.l=72\pi \Rightarrow R=\frac{72\pi }{\pi .9}=8\left( cm \right)$.

b) Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón, ta có:

${{S}_{tp}}=\pi .R.l+\pi .{{R}^{2}}\Rightarrow {{S}_{tp}}=72\pi +64\pi =136\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 8:

Để tính được diện tích tôn làm xô ta cần tính được diện tích xung quanh và diện tích đáy nhỏ.

+) Độ dài đường sinh: $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{{{24}^{2}}+{{\left( 13-9 \right)}^{2}}}=4\sqrt{37}\left( cm \right)$

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón cụt, ta có:

${{S}_{xq}}=\pi .\left( R+r \right).l\Rightarrow {{S}_{xq}}=\pi \left( 9+13 \right).4\sqrt{37}=88\pi \sqrt{37}\left( c{{m}^{2}} \right)$

Diện tích hình tròn đáy nhỏ là:

$S=\pi {{.9}^{2}}=81\pi \left( c{{m}^{2}} \right)$

Vậy diện tích tôn cần để làm xô là: $88\pi \sqrt{37}+81\pi \approx 1935\left( c{{m}^{2}} \right)$.

Câu 9:

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AC ta được một hình nón đỉnh A có chiều cao $AC=b$, bán kính đáy $BC=a$, đường sinh $AB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Diện tích xung quanh của hình nón đó là: ${{S}_{1}}=\pi .a.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

+) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC ta được một hình nón đỉnh B, có chiều cao $BC=a$, bán kính đáy $AC=b$, đường sinh $AB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Diện tích xung quanh của hình nón đó là: ${{S}_{2}}=\pi .b.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.

Tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón đó là: $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\pi .a.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\pi .b.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{a}{b}$.