• Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho hình dưới: So sánh độ dài của cung $\widehat{AmB}$ với độ dài đường gấp khúc AOB.

Câu 2:

Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung $AB=R\sqrt{3};\,\,AC=R\sqrt{2}$ sao cho AO nằm giữa hai tia AB; AC. So sánh độ dài cung nhỏ AB, AC và BC.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho đường tròn (O;R).

a) Tính góc AOB biết độ dài cung $\overset\frown{AB}$ là $\frac{\pi R}{4}.$

b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C sao cho ΔAOC là tam giác đều và AC cắt đoạn OB. Tính độ dài cung lớn AC và BC.

Câu 4:

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Vẽ các nửa đường tròn đường kính AC, CD, DB. Chứng minh tổng độ dài của ba nửa đường tròn này bằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AB.

Dạng 2. So sánh độ dài của hai cung

Câu 1.

Ta có $I{{ & }_{\overset\frown{AmB}}}=\frac{\pi .R.120}{180}=\frac{2\pi R}{3}\left( 1 \right)$

Độ dài đường gấp khúc AOB là: \[d=OA+OB=2R.\left( 2 \right)\]

Vì $\pi >3\Rightarrow \frac{\pi }{3}>1\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $I{{ & }_{\overset\frown{AmB}}}>d.$

Câu 2.

Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và $AB=R\sqrt{3},$ suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R), suy ra

$s\tilde{n}\overset\frown{AB}=\widehat{AOB}={{120}^{o}}.\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có AC là dây cung của đường tròn (O;R) và $AC=R\sqrt{2},$ suy ra AB là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R), suy ra $s\tilde{n}\overset\frown{AC}=\widehat{AOC}={{90}^{o}}.\,\,\,\,\left( 2 \right)$

\[\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow s\tilde{n}\overset\frown{BC}={{360}^{o}}-\left( s\tilde{n}\overset\frown{AB}+s\tilde{n}\overset\frown{AC} \right)={{150}^{o}}.\,\,\,\,\]

Do đó: ${{I}_{\overset\frown{AB}}}=\frac{\pi R120}{180}=\frac{2\pi R}{3}$ (đvđd).

${{I}_{\overset\frown{AC}}}=\frac{\pi R90}{180}=\frac{\pi R}{2}$ (đvđd).

${{I}_{\overset\frown{BC}}}=\frac{\pi R150}{180}=\frac{5R}{6}$ (đvđd).

Vậy ${{I}_{\overset\frown{AC}}}<{{I}_{\overset\frown{BC}}}<{{I}_{\overset\frown{AB}}}.$

Câu 3.

a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB, ta có:

$\frac{\pi R}{4}=\frac{\pi Rx}{180}\Rightarrow x=45\Rightarrow \widehat{AOB}={{45}^{o}}.$

b) Vì $s\tilde{n}\overset\frown{AC}={{60}^{o}}\,$ nên số đo cung lớn AC là 300°

Do đó ${{I}_{\overset\frown{AC}}}=\frac{\pi R300}{180}=\frac{5\pi R}{3}$

Ta có $s\tilde{n}\overset\frown{BC}={{60}^{o}}+45{}^\circ =105{}^\circ $ nên số đo cung lớn BC là 255°

$\Rightarrow {{I}_{\overset\frown{BC}}}=\frac{\pi R255}{180}=\frac{17\pi R}{12}.$

Câu 4.

Gọi \[{{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}},\,{{C}_{4}}\] lần lượt là độ dài của nửa đường tròn đường kính AC, CD, DB và AB.

Ta có:

\[{{C}_{1}}=\frac{\pi .AC}{2};\,\,{{C}_{2}}=\frac{\pi .CD}{2};\,\,{{C}_{3}}=\frac{\pi .DB}{2}\]

$\Rightarrow {{C}_{1}}+{{C}_{2}}+{{C}_{3}}=\frac{\pi }{2}\left( AC+CD+DB \right)=\frac{\pi }{2}.AB={{C}_{4}}.$

Vậy \[{{C}_{1}}+{{C}_{2}}+{{C}_{3}}=\,{{C}_{4}}.\]