Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung

• Phương pháp giải

Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường tròn và theo số đo của cung rồi so sánh các kết quả.

Ví dụ: Cho đường tròn (O) bán kính OM. Vẽ đường tròn tâm ${O}’$, đường kính OM. Một bán kính OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) ở B. Chứng minh \[\overset\frown{MA}\text{ }v\grave{a}\text{ }\overset\frown{MB}\] có độ dài bằng nhau. Hướng dẫn giải Ta có \[\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{MO’B}\] (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung). Giả sử \[\widehat{MOB}=n{}^\circ \text{ }th\grave{i}~\,\widehat{M{O}’B}=2n{}^\circ ,\] suy ra $s\tilde{n}\overset\frown{MA}={{n}^{o}};\,\,s\tilde{n}\overset\frown{MB}=2{{n}^{o}}.$ Ta có ${{I}_{\overset\frown{MA}}}=\frac{\pi .OM.n}{180}\left( 1 \right)$ ${{I}_{\overset\frown{MB}}}=\frac{\pi .{O}’M.2n}{180}=\frac{\pi .OM.n}{180}\left( 2 \right)\,\,\left( v\grave{i}\,OM=2{O}’M \right).$ Từ (1) và (2) suy ra \[{{I}_{\overset\frown{MA}}}={{I}_{\overset\frown{MB}}}\]

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC.

Hướng dẫn giải

Gọi \[{{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}}\] lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường kính AC, AB và BC.

Ta có \[{{C}_{1}}=\pi .AC;\,\,{{C}_{2}}=\pi .AB;\,\,{{C}_{3}}=\pi .BC\]

$\Rightarrow {{C}_{2}}+{{C}_{3}}=\pi \left( AB+BC \right)=\pi .AC={{C}_{1}}.$

Vậy \[{{C}_{1}}={{C}_{2}}+{{C}_{3}}.\]

Ví dụ 2.

Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là \[72:3=24\left( cm \right).\]

Độ dài mỗi cạnh của hình vuông là \[72:4=18\left( cm \right).\]

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là

${{R}_{1}}=\frac{24}{2\sin {{60}^{o}}}=8\sqrt{3}\left( cm \right).$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là

${{R}_{2}}=\frac{18}{2\sin {{45}^{o}}}=9\sqrt{2}\left( cm \right).$

Vì $8\sqrt{3}>9\sqrt{2}$ nên ${{R}_{1}}>{{R}_{2}},$ do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều lớn hơn độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông. Hiệu các độ dài đó là

\[{{C}_{1}}-{{C}_{2}}=2\pi ({{R}_{1}}-{{R}_{2}})=2\pi (8\sqrt{3}-9\sqrt{2})\left( cm \right).\]