• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho đường tròn tâm (O), bán kính R = 3cm. Tính

a) Độ dài đường tròn.

b) Độ dài cung tròn có số đo là 30°, 60°, 120°.

Câu 2:

Trong đường tròn (O;R), tính theo R độ dài cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB biết:

a) $AB=R\sqrt{2}.$ b) $AB=R\sqrt{3}.$

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh \[AB=5cm,\hat{B}=60{}^\circ .\] Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt BC ở D.

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

b) Gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D.

c) Tính độ dài cung nhỏ BD.

Câu 4:

Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây $BC\bot OA.$

Biết độ dài đường tròn (O) là 4π cm. Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.

Câu 5:

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Vẽ ra phía ngoài tứ giác này bốn nửa đường tròn có đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác. Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn kia.

Câu 6:

Cho đường tròn (O;R) với dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung lớn BC. Đường phân giác của \[\widehat{BAC}\] cắt đường tròn (O) tại D. Các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại C và D cắt nhau tại E. Tia CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I.

a) Chứng minh \[BC\,\text{//}\,DE.\]

b) Chứng minh AKIC là tứ giác nội tiếp.

c) Cho $BC=R\sqrt{3}$. Tính theo R độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O;R).

Câu 7:

Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì trên BC. Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho BM = BD,CM = CE. Tìm vị trí của điểm M trên BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ nhất. Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu 8:

Cho K là điểm chuyển động trên đường tròn tâm O đường kính MN. Tìm vị trí điểm K để chu vi ΔMNK đạt giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN

Dạng 1. Tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

Câu 1.

a) Độ dài đường tròn $C=2\pi R=6\pi \left( cm \right).$

b) Độ dài cung tròn có số đo 30° là $I=\frac{\pi R{{30}^{o}}}{{{180}^{o}}}=\frac{\pi }{2}\left( cm \right).$

Độ dài cung tròn có số đo 60° là $I=\frac{\pi R{{60}^{o}}}{{{180}^{o}}}=\pi \left( cm \right).$

Độ dài cung tròn có số đo 120° là $I=\frac{\pi R{{120}^{o}}}{{{180}^{o}}}=2\pi \left( cm \right).$

Câu 2.

a) Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và $AB=R\sqrt{2},$ suy ra AB là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là $\overset\frown{AmB};\,\,\overset\frown{AnB}.$

Do đó $s\tilde{n}\overset\frown{AmB}={{90}^{o}}\,\,va\,$ \[s\tilde{n}\,\overset\frown{AnB}=360{}^\circ \text{ }-90{}^\circ =270{}^\circ \]

Do đó ${{I}_{\overset\frown{AB}}}=\frac{\pi R90}{180}=\frac{\pi R}{2}$ (đvđd).

${{I}_{\overset\frown{AB}\,l\hat{o}\grave{u}n}}=\frac{\pi R270}{180}=\frac{3\pi R}{4}$(đvđd).

b) Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và \[AB=R\sqrt{3}\] , suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là $\overset\frown{AmB};\,\,\overset\frown{AnB}.$

Khi đó sổ $s\tilde{n}\overset\frown{AmB}={{120}^{o}}\,\,va\,$ \[s\tilde{n}\,\overset\frown{AnB}=360{}^\circ \text{ }-120{}^\circ =240{}^\circ .\]

Do đó: ${{I}_{\overset\frown{AB}}}=\frac{\pi R120}{180}=\frac{2\pi R}{3}$ (đvđd).

${{I}_{\overset\frown{AB}\,l\hat{o}\grave{u}n}}=\frac{\pi R240}{180}=\frac{4\pi R}{3}$(đvđd).

Câu 3.

a) Ta có: \[\widehat{BDA}=90{}^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $AD\bot BC$ (điều phải chứng minh).

b) ΔADC vuông tại D, suy ra $DK=\frac{1}{2}AC$ (tính chất tam giác vuông).

Do đó $D\in \left( K;\frac{AC}{2} \right)$ (điều phải chứng minh).

c) ΔIBD cân tại I có $\widehat{B}={{60}^{o}}$ nên ΔIBD đều $\Rightarrow \widehat{BID}={{60}^{o}}$

$\Rightarrow {{I}_{\overset\frown{BD}}}=\frac{\pi .\frac{5}{2}.60}{180}=\frac{5}{6}\pi \left( cm \right).$

Câu 4.

a) $2\pi R=4\pi \Rightarrow R=2\left( cm \right)$

b) $\widehat{AOB}={{60}^{o}}$ (vì ΔOAB đều) $\widehat{BOC}={{120}^{o}}$

$\Rightarrow {{I}_{\overset\frown{BC}\,nho\hat{u}}}=\frac{\pi .R.120}{180}=\frac{4}{3}\pi \,\left( cm \right);\,\,{{I}_{\overset\frown{BC}\,l\hat{o}\grave{u}n}}=\frac{8}{3}\pi \left( cm \right).$

Câu 5.

Gọi M; N; P; Q lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB; BC; CD; DA với đường tròn.

Đặt $AM=QA=a;\,\,MB=NB=b;\,\,NC=PC=c;\,\,PD=QD=d.$

Gọi $\frac{{{C}_{\left( AB \right)}}}{2};\frac{{{C}_{\left( CD \right)}}}{2};\frac{{{C}_{\left( AD \right)}}}{2};\frac{{{C}_{\left( BC \right)}}}{2}$ lần lượt là nửa chu vi đường tròn đường kính AB; CD; AD; BC, khi đó ta có:

$\frac{{{C}_{\left( AB \right)}}}{2}=\frac{2\pi .\frac{a+b}{2}}{2};\frac{{{C}_{\left( CD \right)}}}{2}=\frac{2\pi .\frac{c+d}{2}}{2}$

$\Rightarrow \frac{{{C}_{\left( AB \right)}}}{2}+\frac{{{C}_{\left( CD \right)}}}{2}=\frac{2\pi .\frac{a+b+c+d}{2}}{2}$

Tương tự ta có

$\Rightarrow \frac{{{C}_{\left( AD \right)}}}{2}+\frac{{{C}_{\left( BC \right)}}}{2}=\frac{2\pi .\frac{a+b+c+d}{2}}{2}$ (điều phải chứng minh).

Câu 6.

a) AD là phân giác của $\widehat{BAC},$ suy ra D là điểm chính giữa $\overset\frown{BC}$

$\Rightarrow OD\bot BC.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mà DE là tiếp tuyến nên $DE\bot OD\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1); (2) ta có $BC//DE$ (điều phải chứng minh).

b) $\widehat{ECD}=\frac{1}{2}s\tilde{n}\overset\frown{CD}=\widehat{DAC}=\widehat{BAD},$ suy ra AKIC là tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).

c) $HC=\frac{R\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{HOC}={{60}^{o}}\Rightarrow \widehat{BOC}={{120}^{o}}$

$\Rightarrow I{{ & }_{\overset\frown{BC}}}=\frac{\pi .R.120}{180}=\frac{2}{3}\pi R.$

Câu 7.

+) Xác định vị trí điểm M:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔDEM.

Khi đó O là giao điểm 3 đường trung trực của ΔDEM .

Vì hai tam giác BMD và CME là tam giác cân nên ta chứng minh được O là giao điểm hai đường phân giác của góc B và góc C của tam giác ABC, suy ra O cố định.

Độ dài đường tròn ngoại tiếp ΔDEM là $C=2\pi OM.$

Do đó C nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất hay OM vuông góc với BC, M là trung điểm của BC.

+) Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác:

Khi đó A, O, M thẳng hàng nên BO là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM)

Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Vậy khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DME là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Câu 8.

Chu vi ΔKMN là \[{{C}_{\Delta KMN}}=MN+KM+KN,\] trong đó MN không đổi nên chu vi ΔKMN đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn nhất. Có thể tư duy theo hướng: trong tất cả các tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau thì tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất hoặc mở rộng hơn trong tất cả các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vuông có chu vi lớn nhất.

Áp dụng định lý Py-ta-go trong ΔKMN vuông tại K ta có:

\[K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

\[{{(1.KM+1.KN)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( K{{M}^{2}}+K{{N}^{2}} \right)=2M{{N}^{2}}\]

\[\Rightarrow KM+KN\le \sqrt{2M{{N}^{2}}}=2R\sqrt{2}.\]

Do đó KM + KN đạt giá trị lớn nhất bằng \[2R\sqrt{2}\]khi $KM=KN.$

Khi đó K là điểm chính giữa $\overset\frown{MN}$