II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn
-
Phương pháp giải
|
Vận dụng các công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) và công thức tính độ dài cung tròn để tính toán. |
Ví dụ:
Hướng dẫn giải
$l=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .3.60}{180}=\pi \left( dm \right);$
|
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1.
Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung này gấp ba lần cung kia.
a) Tính số đo và độ dài cung lớn.
b) Tính các góc của tam giác OAB.
c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Hướng dẫn giải
- Gọi số đo cung nhỏ là x
Gọi số đo cung lớn là y
Theo bài ra ta có hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array} & x+y={{360}^{o}} \\ y=3.x \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} & x={{90}^{o}} \\ y={{270}^{o}} \\ \end{array} \right.\]
Vậy số đo cung lớn là 270° và độ dài cung lớn là
$\frac{\pi .R.270}{180}=\frac{3\pi R}{2}.$
b) Ta có $\widehat{AOB}=s\tilde{n}\overset\frown{AB}=x={{90}^{o}}$
Áp dụng định lí tổng ba góc trong ΔAOB ta có: \[\widehat{AOB}+\widehat{OAB}+\widehat{OBA}=180{}^\circ \]
Mà ΔAOB cân tại O \[(OA=OB=R)\] nên $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.$
Từ đó $\widehat{AOB}={{90}^{o}};\,\,\widehat{OAB}=\widehat{OBA}={{45}^{o}}$
c) Kẻ $OH\bot AB\left( H\in AB \right).$
Mà ΔAOB vuông cân tại O (theo chứng minh trên) nên ta có \[OH=\frac{1}{2}AB\] (tính chất) và
\[A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=2{{R}^{2}}\] (định lí Py-ta-go).
Do đó $OH=\frac{R\sqrt{2}}{2}.$
Ví dụ 2.
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD).
Nối AC và BD cắt nhau tại K.
a) Tìm tỉ số đồng dạng của ΔKCD với ΔKBA .
b) Cho \[\widehat{ABC}=30{}^\circ ,\] tính độ dài cung nhỏ AC.
Hướng dẫn giải
a) Xét ΔKCD và ΔKBA ta có $\widehat{K}$ chung;
$\widehat{KCD}=\widehat{KBA}$ (cùng bù $\widehat{ACD}$)
Suy ra $\Delta KCD\sim \Delta KBA\,\,\left( g.g \right)$
$\Rightarrow \frac{CD}{AB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
Tỷ số đồng dạng là: $\frac{CD}{AB}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
b) $\widehat{ABC}={{30}^{o}}\Rightarrow \widehat{AOC}={{60}^{o}}\Rightarrow {{l}_{\overset\frown{AC}}}=\frac{\pi R}{3}.$