Dạng 2: Tính độ dài của dây căng cung

• Phương pháp giải

– Nếu cung đã cho căng một dây là cạnh của một đa giác đều n cạnh thì ta tính độ dài của cạnh này theo công thức: $a=2R.\sin \frac{{{180}^{o}}}{n}$ – Áp dụng định lí Py-ta-go hoặc hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính dây căng cung 90°.

Ví dụ: Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A, ba cung AB, BC, CB sao cho $s\tilde{n}\overset\frown{AB}={{60}^{o}},s\tilde{n}\overset\frown{BC}={{90}^{o}}\,\,va\,\,s\tilde{n}\overset\frown{CD}={{120}^{o}}.$ Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R. Hướng dẫn giải – Vì $s\tilde{n}\overset\frown{AB}={{60}^{o}}$ nên ΔOAB là tam giác đều. Do đó AB = R. – Vì $s\tilde{n}\overset\frown{BC}=s\tilde{n}\overset\frown{AD}={{90}^{o}}$nên BC và AD là các cạnh của một hình vuông nội tiếp, do đó \[BC=AD=R\sqrt{2}.\] – Vì $\,s\tilde{n}\overset\frown{CD}={{120}^{o}}$ nên CD là cạnh của một tam giác đều nội tiếp, do đó $CD=R\sqrt{3}.$

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A trên đường tròn này vẽ các cung AB và AC sao cho

$s\tilde{n}\overset\frown{AB}={{30}^{o}},s\tilde{n}\overset\frown{AC}={{90}^{o}}$ (điểm A nằm trên cung nhỏ BC). Tính các cạnh của ΔABC và diện tích của nó.

Hướng dẫn giải

Ta có \[\widehat{B}=\frac{s\tilde{n}\overset\frown{AC}}{2}=\frac{{{90}^{o}}}{2}={{45}^{o}}.\]

\[\widehat{C}=\frac{s\tilde{n}\overset\frown{AB}}{2}=\frac{{{30}^{o}}}{2}={{15}^{o}}.\]

Suy ra \[s\tilde{n}\widehat{BAC}=30{}^\circ +90{}^\circ -120{}^\circ .\]

Do đó BC là cạnh của một tam giác đều nội tiếp. Vậy $BC=R\sqrt{3}.$

Vì \[s\tilde{n}\overset\frown{AC}={{90}^{o}}\] nên AC là cạnh của một hình vuông nội tiếp.

Vậy $AC=R\sqrt{2}.$

Vẽ đường cao AH ta được $AH=AC.\sin C=R\sqrt{2}\sin {{15}^{o}}.$

Xét tam giác vuông HAB có:

$AB=\frac{AH}{\sin {{45}^{o}}}=AH.\sqrt{2}=R\sqrt{2}\sin {{15}^{o}}.\sqrt{2}=2R\sin {{15}^{o}}.$

Diện tích $\Delta ABC$ là $S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}R\sqrt{2}\sin {{15}^{o}}.R\sqrt{3}={{R}^{2}}\frac{\sqrt{6}}{2}\sin {{15}^{o}}.$

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (O;R). Cho dây $BC=R\sqrt{3}.$ Lấy A thuộc cung nhỏ BC sao cho $BA=R\sqrt{2}.$ Vẽ $AH\bot BC.$ Tính AH; AC.

Hướng dẫn giải

Vẽ $OI\bot BC,$ ta có $BI=CI=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: \[O{{I}^{2}}=O{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{3{{R}^{2}}}{4}=\frac{{{R}^{2}}}{4}.\]

Suy ra $OI=\frac{R}{2}.$ Suy ra $OI=\frac{1}{2}BO.$ Vậy $\widehat{IBO}={{30}^{o}}.$

Ta có: \[B{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}=2{{R}^{2}}=A{{B}^{2}}\] nên ΔOAB vuông, do đó \[\widehat{BOA}=90{}^\circ .\]

Mà $OA=OB$ nên ΔOAB vuông cân, do đó \[\widehat{OAB}=\widehat{ABO}=45{}^\circ .\]

\[\widehat{ABC}=\widehat{ABO}-\widehat{CBO}=45{}^\circ -30{}^\circ =15{}^\circ .\]

Xét ΔABH có $AH=AB.\sin \widehat{ABC}=R\sqrt{2}\sin {{15}^{o}}.$

Mà $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}\left( he\ddot{a}\,\,qua\hat{u}\,\,go\grave{u}c\,\,no\ddot{a}i\,\,tie\acute{a}p \right)={{45}^{o}}.$

Suy ra ΔAHC vuông cân, do đó AH = HC.

Áp dụng định lí Py-ta-go trong ΔAHC, ta có:

\[A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow AC=AH.\sqrt{2}=R\sqrt{2}\sin {{15}^{o}}.\sqrt{2}=2R.\sin {{15}^{o}}.\]