• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp lục giác đều cạnh a.

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Tính tỉ số $\frac{AB+AC-BC}{r}.$

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 18cm. Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam giác cắt các cạnh AB và AC ở M và N. Tính diện tích tam giác AMN biết MN = 8cm .

Câu 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R), biết \[AB=8cm,\text{ }AC=18cm,\] đường cao \[AH=6cm\] (H nằm bên ngoài cạnh BC). Tính bán kính của đường tròn.

Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường tròn, cạnh của đa giác

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF.

Khi đó O vừa là tâm đường tròn nội tiếp, vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF.

Ta có \[OA=OB=OC=OD=OE=OF=AB=a.\]

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=a.$

Xét tam giác đều OAB cạnh a có đường cao $OI=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều ABCBEF là $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Câu 2.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E, G, H theo thứ tự là điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh AB, CA, AB .

Suy ra \[AH=AG,\text{ }BH=BE,\text{ }CE=CG.\]

Tứ giác AHOG có \[\widehat{A}=\widehat{H}=\widehat{G}=90{}^\circ \text{ }v\grave{a}\,\,AH=AG\] nên AHOG là hình vuông.

Suy ra \[AH=AG=r.\]

Ta có \[\frac{AB+AC-BC}{r}=\frac{AH+BH+AG+CG-\left( BE+CE \right)}{r}\]

$=\frac{AH+AG}{r}=\frac{2r}{2}=2.$

Vậy \[\frac{AB\text{ }+AC-BC}{r}=2.\]

Bài tập nâng cao

Câu 3

Gọi (O;r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E, F là điểm tiếp xúc của đường tròn với cạnh AC, AB.

Ta có \[AE=AF,NE=NI,\text{ }MF=MI.\]

Vì tam giác ABC đều nên bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r=\frac{1}{3}.BE=\frac{1}{3}.\frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\left( cm \right).$

Xét ΔOEN và ΔOIN có \[NE=NI=r;NE=NI\] (chứng minh trên); NO là cạnh chung.

Suy ra \[\Delta OEN=\Delta OIN\left( c-c-c \right).\]

Chứng minh tương tự ta có \[\Delta OMI=\Delta OMF.\]

Suy ra \[{{S}_{OENMF}}={{S}_{OENI}}+{{S}_{OIMF}}=2{{S}_{ONI}}+2{{S}_{OMI}}=2{{S}_{OMN}}=2.\frac{1}{2}OI.MN=3\sqrt{3}.8=24\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right).\]

Diện tích tứ giác AEOF là \[{{S}_{AEOF}}=2{{S}_{AEO}}=AE.OE=\frac{1}{2}AC.OE=\frac{1}{2}.18.3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right).\]

Vậy \[{{S}_{AMN}}={{S}_{AEOF}}-{{S}_{OENMF}}=27\sqrt{3}-24\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right).\]

Câu 4.

Kẻ đường kính AD.

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên \[\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180{}^\circ .\]

Mặt khác \[\widehat{ABH}+\widehat{ABC}=180{}^\circ .\]

Do đó $\widehat{ABH}=\widehat{ADC}.$

Xét hai tam giác vuông ABH và ADC có $\widehat{ABH}=\widehat{ADC}.$(chứng minh trên).

Suy ra $\Delta ABH\sim \Delta ADC\,\,\left( g-g \right).$

$\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\Leftrightarrow \frac{6}{18}=\frac{8}{2R}\Leftrightarrow R=12\left( cm \right)$

Vậy $R=12\left( cm \right)$.