II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài bán kính đường tròn, cạnh của đa giác

• Phương pháp giải

+ Dựa vào tính chất các đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn.

+ Dựa vào định lý Py-ta go, các hệ thức lượng trong tam giác để tính toán.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC và O là giao điểm của AM, BP, CN.

Vì ABC là tam giác đều nên \[OA=OB=OC\] hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mặt khác ta có \[OM=ON=OP\] hay O cách đều ba cạnh của tam giác.

Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác vuông AMB có

\[A{{B}^{2}}=A{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=A{{M}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \[R=OA=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\]

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: \[r=OM=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\]

Ví dụ 2.

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Tính độ dài các cạnh của hình vuông theo R.

Hướng dẫn giải

Vì (O) ngoại tiếp hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo giả thiết ta có \[OA=OB=OC=OD=R.\]

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAB có

\[O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}={{R}^{2}}+{{R}^{2}}=2{{R}^{2}}\Rightarrow AB=R\sqrt{2}.\]

Vậy cạnh của hình vuông có độ dài là $R\sqrt{2}.$

Ví dụ 3.

Cho tam giác ABC có chu vi 20 cm ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn (O) song song với BC bị AB, AC cắt thành đoạn thẳng MN = 2,4 cm. Tính độ dài BC.

Hướng dẫn giải

Gọi D, E, F là tiếp điểm của (O) với AB, AC, BC.

Ta có \[AD=AE,\text{ }BD=BF,\text{ }CE=CF\] nên

\[AD+BF+CE=\frac{1}{2}\left( AB+BC+CA \right)=\frac{1}{2}.20=10\text{ }\left( cm \right).\]

Đặt \[BC=x,\text{ }AD=y\] ta có \[x+y=10\text{ }\left( 1 \right).\]

Vì $MN//BC$ nên ta có $\Delta AMN\sim \,\Delta ABC.$

Suy ra $\frac{MN}{BC}=\frac{chu\,\,vi\,\,\Delta AMN}{chu\,\,vi\,\,\Delta ABC}.$

Mặt khác chu vi tam giác AMN là: \[AM+AN+MN=AD+AE=2AD=2y.\]

Khi đó $\frac{2,4}{x}=\frac{2y}{20}\Leftrightarrow xy=24\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) suy ra $x\left( 10-x \right)=24\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & x=6 \\ x=4 \\ \end{array} \right..$

Vậy độ dài cạnh BC là: 6 cm hoặc 4 cm.