Bài toán 3. Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau

• Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với MN cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.

1. Chứng minh tứ giác ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh $\Delta ANB\backsim \Delta CMD$.
3. Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh tứ giác IMKN là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

1. Xét tứ giác ACNM có $\widehat{MNC}={{90}^{o}}$ (giả thiết);

$\widehat{MAC}={{90}^{o}}$ (tính chất tiếp tuyến).

$\Rightarrow ACNM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD.

1. Xét$\Delta ANB$và $\Delta CMD$có

$\widehat{ABN}=\widehat{CDM}$ (do tứ giác BDNM nội tiếp);

$\widehat{BAN}=\widehat{DCM}$ (do tứ giác ACNM nội tiếp).

Do đó $\Delta ANB\backsim \Delta CMD\left( g.g \right)$

1. Theo chứng minh câu b) ta có $\Delta ANB\backsim \Delta CMD$

$\Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{ANB}={{90}^{o}}$ (do $\widehat{ANB}$là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

$\Rightarrow \widehat{IMK}=\widehat{INK}={{90}^{o}}\Rightarrow IMKN$là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK.