Cách dựng cung chứa góc

Dạng 3: Dựng cung chứa góc

  • Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

Bước 1: Dựng đoạn thẳng có độ dài bằng cạnh đã cho.

Bước 2: Dựng cung chứa góc $\alpha $ trên đoạn thẳng đó.

Bước 3: Dựng tiếp điều kiện còn lại và kết luận.

Ví dụ:

Dựng một cung chứa góc 55o trên đoạn thẳng AB = 3 cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng

  • Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.
  • Dựng góc $\widehat{xAB}={{55}^{o}}$
  • Dựng tia Ay$\bot $Ax.
  • Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
  • d cắt Ay tại O.
  • Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA. $\overset\frown{AmB}$ là cung chứa góc 55o cần dựng.

Chứng minh

O thuộc đường trung trục của $AB\Rightarrow OA=OB$

$\Rightarrow B\in \left( O;OA \right)$.

$Ax\bot AO\Rightarrow Ax$ là tiếp tuyến của (O;OA)

$\Rightarrow \widehat{BAx}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB.

Lấy $M\in \overset\frown{AmB}\Rightarrow \widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $\overset\frown{AB}$

$\Rightarrow \widehat{BAx}=\widehat{AMB}={{55}^{o}}$.

$\Rightarrow \overset\frown{AmB}$ là cung chứa góc 55o dựng trên đoạn AB=3cm.

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình.

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Dựng $\Delta ABC$ biết $BC=3cm,\widehat{BAC}={{50}^{o}}$ và trung tuyến $AM=2,5cm$.

Hướng dẫn giải

Cách dựng

  • Dựng đoạn thẳng BC = 3cm.
  • Dựng cung chứa góc 50o trên đoạn BC.
  • Dựng M là trung điểm của đoạn BC.
  • Vẽ cung tròn (M; 2,5cm) cắt cung chứa góc tại A.
  • Nối AB, AC ta được $\Delta ABC$phải dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng ta có BC = 3cm.

A thuộc cung chứa góc 50o dựng trên đoạn $BC\Rightarrow \widehat{BAC}={{50}^{o}}$.

$A\in \left( M;2,5cm \right)\Rightarrow AM=2,5cm$.

Vậy $\Delta ABC$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do (M; 2,5cm) cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Ví dụ 2.

Dựng $\Delta ABC$, biết $BC=6cm,\,\widehat{A}={{40}^{o}}$ và đường cao AH = 4cm.

Hướng dẫn giải

Cách dựng

  • Dựng đoạn thẳng BC = 6cm. Lấy D là trung điểm của BC.
  • Dựng cung chứa góc 40o trên đoạn thẳng BC.

+ Dựng tia Bx sao cho $\widehat{CBx}={{40}^{o}}$ .

+ Dựng tia $By\bot Bx$ .

+ Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

+ Dựng đường tròn (O;B).

+ Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40o dựng trên đoạn BC.

  • Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm.

+ Trên đường trung trực của BC lấy điểm D’ sao cho DD’ = 4cm.

+ Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

  • Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A, ta được $\Delta ABC$ cần dựng.

Chứng minh

Theo cách dựng ta có BC = 6cm.

A thuộc cung chứa góc 40o dựng trên đoạn $BC\Rightarrow \widehat{BAC}={{40}^{o}}$.

$A\in d$ song song với BC và cách BC 4cm$\Rightarrow AH=DD’=4cm$.

Vậy $\Delta ABC$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Viết một bình luận