Bài tập Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
Bởi

  • Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1:

Cho $\Delta ABC$có góc B, góc C nhọn. AH là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết rằng $\widehat{BAH}=\widehat{MAC.}$ Gọi E là trung điểm của AB. Chứng minh A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}<{{90}^{o}}$. Đường tròn (A;AB) cắt đường thẳng BC tại E. Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 3:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ một đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIN$cắt đường thẳng AI tại một điểm thứ hai là D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E.

  1. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
  2. Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra $BE\bot CE$

Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Câu 1.

$\Delta ABC$ có ME là đường trung bình nên ME // AC

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{AME}\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta AHB$ có $\widehat{AHB}={{90}^{o}},EA=EB$

$\Rightarrow AE=EH$.

Do đó $\Delta AHE$ cân tại $E\Rightarrow \widehat{EHA}=\widehat{EAH}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) và $\widehat{EAH}=\widehat{MAC}$ suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AHE}$.

Do đó H, M, A, E cùng thuộc một đường tròn.

Câu 2.

Ta có $\Delta ABE$cân tại A, $\Delta CBK$cân tại C.

Lại có $\widehat{ABE}=\widehat{CBK}$ nên $\widehat{EAB}=\widehat{KCB}\Rightarrow A;C;E;K$cùng thuộc một đường tròn (1)

Mặt khác $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$.

Suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{KCD}$.

Từ đó ta có \[\Delta DAE=\Delta KCD\,\left( c.g.c \right)\]

$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{CKD}$ , mà $\widehat{EDA}=\widehat{DEC}\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{DEC}$

$\Rightarrow C;D;E;K$ cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn đi qua E, K, A.

Câu 3.

a) Ta có $\widehat{{{D}_{2}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset\frown{IN}$),

$\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$ (giả thiết)

Do đó $\widehat{{{D}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}$

Hai điểm D và B cùng nhìn đoạn AE dưới một cặp góc bằng nhau nên B và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AE.

Suy ra A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn(P).

b) Ta có $\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset\frown{BI}$);

$\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ (hai góc đồng vị).

Do đó $\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$.

Hai điểm C và D cùng nhìn đoạn AB dưới một góc bằng nhau nên C và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (Q).

Hai đường tròn (P) và (Q) có ba điểm chung là A, B, D nên chúng trùng nhau.

Do đó năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{BAC}={{90}^{o}}$ . Vây $BE\bot CE$.

Viết một bình luận