-
Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1:
Cho $\Delta ABC$có góc B, góc C nhọn. AH là đường cao, AM là đường trung tuyến, biết rằng $\widehat{BAH}=\widehat{MAC.}$ Gọi E là trung điểm của AB. Chứng minh A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn.
Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}<{{90}^{o}}$. Đường tròn (A;AB) cắt đường thẳng BC tại E. Đường tròn (C;CB) cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
Câu 3:
Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ một đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIN$cắt đường thẳng AI tại một điểm thứ hai là D. Hai đường thẳng DN và BF cắt nhau tại E.
- Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, từ đó suy ra $BE\bot CE$
Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn
Câu 1.$\Delta ABC$ có ME là đường trung bình nên ME // AC $\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{AME}\,\,\,\left( 1 \right)$ $\Delta AHB$ có $\widehat{AHB}={{90}^{o}},EA=EB$ $\Rightarrow AE=EH$. Do đó $\Delta AHE$ cân tại $E\Rightarrow \widehat{EHA}=\widehat{EAH}\,\,\,\left( 2 \right)$ Từ (1), (2) và $\widehat{EAH}=\widehat{MAC}$ suy ra $\widehat{AME}=\widehat{AHE}$. Do đó H, M, A, E cùng thuộc một đường tròn. |
|
Câu 2.Ta có $\Delta ABE$cân tại A, $\Delta CBK$cân tại C. Lại có $\widehat{ABE}=\widehat{CBK}$ nên $\widehat{EAB}=\widehat{KCB}\Rightarrow A;C;E;K$cùng thuộc một đường tròn (1) Mặt khác $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}$. Suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{KCD}$. Từ đó ta có \[\Delta DAE=\Delta KCD\,\left( c.g.c \right)\] $\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{CKD}$ , mà $\widehat{EDA}=\widehat{DEC}\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{DEC}$ $\Rightarrow C;D;E;K$ cùng thuộc một đường tròn (2) Từ (1) và (2) suy ra A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn đi qua E, K, A. |
|
Câu 3.a) Ta có $\widehat{{{D}_{2}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset\frown{IN}$), $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$ (giả thiết) Do đó $\widehat{{{D}_{2}}}=\widehat{{{B}_{1}}}$ Hai điểm D và B cùng nhìn đoạn AE dưới một cặp góc bằng nhau nên B và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AE. Suy ra A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn(P). b) Ta có $\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overset\frown{BI}$); $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$ (hai góc đồng vị). Do đó $\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$. Hai điểm C và D cùng nhìn đoạn AB dưới một góc bằng nhau nên C và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (Q). Hai đường tròn (P) và (Q) có ba điểm chung là A, B, D nên chúng trùng nhau. Do đó năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Suy ra $\widehat{BEC}=\widehat{BAC}={{90}^{o}}$ . Vây $BE\bot CE$. |
|