Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn

  • Phương pháp giải

Chứng minh các điểm này cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB và cùng nhìn AB dưới một góc bằng nhau.

Ví dụ:

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn. Một dây DE song song với BC cắt ACF. Tiếp tuyến tại B cắt DEI. Chứng minh A, I, B, F cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{IBA}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).

DE // BC nên $\widehat{AFI}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị).

Do đó $\widehat{IBA}=\widehat{IFA}\left( =\widehat{ACB} \right)$.

Suy ra B, F cùng nằm trên một cung chứa góc dựng trên đoạn AI.

Vậy A, I, B, F cùng thuộc một đường tròn.

  • Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với $\widehat{A}={{60}^{o}}$. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

$\Delta ABC$ có $\widehat{A}={{60}^{o}}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}={{120}^{o}}$

Xét $\Delta BIC$ có $\widehat{BIC}={{180}^{o}}-\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}={{180}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}}$ .

Ta có

$\begin{array} & \widehat{BHC}=\widehat{B’HC’}={{360}^{o}}-\widehat{HC’A}-\widehat{HB’A}-\widehat{B’AC’} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{360}^{o}}-{{90}^{o}}-{{90}^{o}}-{{60}^{o}}={{120}^{o}} \\ \end{array}$

Lại có $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}={{2.60}^{o}}={{120}^{o}}$ .

Suy ra các điểm I, H, O nằm trên cung chứa góc 120o dựng trên đoạn thẳng BC.

Do đó năm điểm I, H, O, B, C cùng thuộc một đường tròn.

Viết một bình luận