-
Bài tập tự luyện dạng 3
Bài tập cơ bản
Câu 1.
Cho góc vuông $xOy$. Các điểm $A$ và $B$ theo thứ tự di chuyển trên các tia \[Ox,Oy\] sao cho $OA+OB=k$ (hằng số). Vẽ các đường tròn $\left( A;OB \right)$và $\left( B;OA \right)$. Chứng minh rằng hai đường tròn $\left( A \right)$ và $\left( B \right)$ luôn cắt nhau.
Bài tập nâng cao
Câu 2.
Cho hai đường tròn tâm $O$ và ${O}’$ có cùng bán kính, cắt nhau tại $A$ và $B$. Đoạn nối tâm \[O{O}’\] cắt các đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ thứ tự ở $C$ và $D$. Tính bán kính mỗi đường tròn biết $AB=24$ cm, $CD=12$ cm.
Câu 3.
Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại điểm $C$. Gọi $D$ và $E$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $d$.
a) Các đường tròn $\left( A;AD \right)$ và $\left( B;BE \right)$ có vị trí nào đối với nhau?
b) Chứng minh rẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là $DE$.
Câu 4.
Cho điểm $A$thuộc đoạn $OI$ sao cho $OA>AI$. Dựng đường tròn $\left( O;OA \right)$và $\left( I;IA \right)$. Tiếp tuyến chung ngoài $BC$ của hai đường tròn ($B\left( O \right)$ và $C\left( I \right)$) giao với tiếp tuyến chung trong tại điểm $M$.
a) $\left( O \right)$và $\left( I \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.
b) Tam giác$ABC$ vuông tại $A$và tam giác $OMI$vuông tại $M$.
c) Tia $AO$ giao với $\left( O \right)$tại $D$, tia $OA$ giao với $\left( I \right)$tại $E$, tia $DB$ và $EC$ giao nhau tại $K$. Chứng minh 3 điểm $K,M,A$ thẳng hàng.
d) Tính diện tích tứ giác $OBCI$ biết $OA=16$cm, $IA=9$ cm.
Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa $d$ với $R,r$ và ngược lại
Câu 1.
Xét tam giác $OAB$, theo bất đẳng thức tam giác có
$\left| OA-OB \right|<AB<OA+OB$.
Vậy hai đường tròn $\left( A \right)$và $\left( B \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Câu 2.
Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, suy ra $AH=HB=\frac{AB}{2}=12$ (cm).
Xét tam giác vuông $OHB$, áp dụng định lý Py-ta-go ta có
$O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{\left( R-6 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}\Leftrightarrow R=15$ (cm).
Vậy $R=15$(cm).
Câu 3.
a) Vì $AD\bot DE,BE\bot DE$ nên $ABED$là hình thang vuông.
Vì $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $C$ nên $OC\bot DE$
$\Rightarrow AD\text{//}OC\text{//}BE$.
Mặt khác $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OC$ là đường trung bình của hình thang $ABED$.
Suy ra $AD+BE=2OC=AB$.
Vậy đường tròn $\left( A;AD \right)$ và $\left( B;BE \right)$ tiếp xúc với nhau.
b) Dựng $CH\bot AB$.
Ta có tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{OCB}$. (1)
Vì $OC\text{//}BE$ nên $\widehat{OCB}=\widehat{CBE}$ (so le trong). (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{CBE}$.
Xét tam giác $CBH$ và $CBE$ có
$\widehat{CHB}=\widehat{CEB}=90{}^\circ $;
$BC$ là cạnh chung;
$\widehat{OBC}=\widehat{CBE}$(chứng minh trên)
Suy ra $\Delta CBH=\Delta CBE$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow CH=CE$.
Vì $C$ là tâm đường tròn đường kính $DE$ và $CH\bot AB,CH=\frac{1}{2}DE$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$, với tiếp điểm là$H$.
Câu 4.
a) Ta có $OI=OA+AI$.
Khoảng cách hai tâm bằng tổng bán kính.
Suy ra $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.
b) Xét tam giác $ABC$ ta có:
$MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
$MA=MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra $MA=MB=MC\Rightarrow \Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.
Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $AB$ với $OM$, của $AC$ với $MI$.
Ta có $MA=MB$ ( hai tiếp tuyến cắt nhau); $OA=OB$ ($A,B$ cùng thuộc $\left( O \right)$)
$\Rightarrow MO$ là trung trực$AB$.
$\Rightarrow MP\bot PA\Rightarrow \widehat{MPA}=90{}^\circ $.
Chứng minh tương tự $\widehat{MQA}=90{}^\circ $.
Lại có $\widehat{PAQ}=90{}^\circ $ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$).
Xét tứ giác $MPAQ$có
$\widehat{MPA}=90{}^\circ $ (chứng minh trên);
$\widehat{MQA}=90{}^\circ $(chứng minh trên);
$\widehat{PAQ}=90{}^\circ $(chứng minh trên)
$\Rightarrow $ $MPAQ$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow \widehat{PMQ}=90{}^\circ \Rightarrow \Delta MOI$ vuông tại $M$.
c) Xét tứ giác $ABKC$, ta có $\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $.
$\Rightarrow ABKC$ là hình chữ nhật.
Có $KA$ và $BC$ là hai đường chéo của hình chữ nhật $ABKC$.
Suy ra $KA$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm $BC$($MB=MC$).
$\Rightarrow $$M$cũng là trung điểm $KA$$\Rightarrow K,M,A$ thẳng hàng.
d) Dễ thấy $OBCI$ là hình thang vuông
Xét $\Delta OMI$ vuông tại $M$, đường cao $MA$ , ta có
$M{{A}^{2}}=OA.OI=16.9=144\Rightarrow MA=12$ (cm).
Mà $MA=MB=MC\Rightarrow BC=2MB=2MA=24$(cm).
${{S}_{OBCI}}=\frac{1}{2}\left( OB+CI \right).BC=300$ ($\text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}}$).