Bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa $d$ với $R,r$ và ngược lại
  • Bài tập tự luyện dạng 3

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Cho góc vuông $xOy$. Các điểm $A$ và $B$ theo thứ tự di chuyển trên các tia \[Ox,Oy\] sao cho $OA+OB=k$ (hằng số). Vẽ các đường tròn $\left( A;OB \right)$và $\left( B;OA \right)$. Chứng minh rằng hai đường tròn $\left( A \right)$ và $\left( B \right)$ luôn cắt nhau.

Bài tập nâng cao

Câu 2.

Cho hai đường tròn tâm $O$ và ${O}’$ có cùng bán kính, cắt nhau tại $A$ và $B$. Đoạn nối tâm \[O{O}’\] cắt các đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ thứ tự ở $C$ và $D$. Tính bán kính mỗi đường tròn biết $AB=24$ cm, $CD=12$ cm.

Câu 3.

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại điểm $C$. Gọi $D$ và $E$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $d$.

a) Các đường tròn $\left( A;AD \right)$ và $\left( B;BE \right)$ có vị trí nào đối với nhau?

b) Chứng minh rẳng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là $DE$.

Câu 4.

Cho điểm $A$thuộc đoạn $OI$ sao cho $OA>AI$. Dựng đường tròn $\left( O;OA \right)$và $\left( I;IA \right)$. Tiếp tuyến chung ngoài $BC$ của hai đường tròn ($B\left( O \right)$ và $C\left( I \right)$) giao với tiếp tuyến chung trong tại điểm $M$.

a) $\left( O \right)$và $\left( I \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.

b) Tam giác$ABC$ vuông tại $A$và tam giác $OMI$vuông tại $M$.

c) Tia $AO$ giao với $\left( O \right)$tại $D$, tia $OA$ giao với $\left( I \right)$tại $E$, tia $DB$ và $EC$ giao nhau tại $K$. Chứng minh 3 điểm $K,M,A$ thẳng hàng.

d) Tính diện tích tứ giác $OBCI$ biết $OA=16$cm, $IA=9$ cm.

Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa $d$ với $R,r$ và ngược lại

Câu 1.

Xét tam giác $OAB$, theo bất đẳng thức tam giác có

$\left| OA-OB \right|<AB<OA+OB$.

Vậy hai đường tròn $\left( A \right)$và $\left( B \right)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Câu 2.

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, suy ra $AH=HB=\frac{AB}{2}=12$ (cm).

Xét tam giác vuông $OHB$, áp dụng định lý Py-ta-go ta có

$O{{B}^{2}}=O{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}={{\left( R-6 \right)}^{2}}+{{12}^{2}}\Leftrightarrow R=15$ (cm).

Vậy $R=15$(cm).

Câu 3.

a) Vì $AD\bot DE,BE\bot DE$ nên $ABED$là hình thang vuông.

Vì $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $C$ nên $OC\bot DE$

$\Rightarrow AD\text{//}OC\text{//}BE$.

Mặt khác $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OC$ là đường trung bình của hình thang $ABED$.

Suy ra $AD+BE=2OC=AB$.

Vậy đường tròn $\left( A;AD \right)$ và $\left( B;BE \right)$ tiếp xúc với nhau.

b) Dựng $CH\bot AB$.

Ta có tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{OCB}$. (1)

Vì $OC\text{//}BE$ nên $\widehat{OCB}=\widehat{CBE}$ (so le trong). (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{OBC}=\widehat{CBE}$.

Xét tam giác $CBH$ và $CBE$ có

$\widehat{CHB}=\widehat{CEB}=90{}^\circ $;

$BC$ là cạnh chung;

$\widehat{OBC}=\widehat{CBE}$(chứng minh trên)

Suy ra $\Delta CBH=\Delta CBE$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow CH=CE$.

Vì $C$ là tâm đường tròn đường kính $DE$ và $CH\bot AB,CH=\frac{1}{2}DE$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$, với tiếp điểm là$H$.

Câu 4.

a) Ta có $OI=OA+AI$.

Khoảng cách hai tâm bằng tổng bán kính.

Suy ra $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$.

b) Xét tam giác $ABC$ ta có:

$MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

$MA=MC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $MA=MB=MC\Rightarrow \Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.

Gọi $P,Q$ lần lượt là giao điểm của $AB$ với $OM$, của $AC$ với $MI$.

Ta có $MA=MB$ ( hai tiếp tuyến cắt nhau); $OA=OB$ ($A,B$ cùng thuộc $\left( O \right)$)

$\Rightarrow MO$ là trung trực$AB$.

$\Rightarrow MP\bot PA\Rightarrow \widehat{MPA}=90{}^\circ $.

Chứng minh tương tự $\widehat{MQA}=90{}^\circ $.

Lại có $\widehat{PAQ}=90{}^\circ $ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$).

Xét tứ giác $MPAQ$có

$\widehat{MPA}=90{}^\circ $ (chứng minh trên);

$\widehat{MQA}=90{}^\circ $(chứng minh trên);

$\widehat{PAQ}=90{}^\circ $(chứng minh trên)

$\Rightarrow $ $MPAQ$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow \widehat{PMQ}=90{}^\circ \Rightarrow \Delta MOI$ vuông tại $M$.

c) Xét tứ giác $ABKC$, ta có $\widehat{ABK}=\widehat{ACK}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $.

$\Rightarrow ABKC$ là hình chữ nhật.

Có $KA$ và $BC$ là hai đường chéo của hình chữ nhật $ABKC$.

Suy ra $KA$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường.

Mà $M$ là trung điểm $BC$($MB=MC$).

$\Rightarrow $$M$cũng là trung điểm $KA$$\Rightarrow K,M,A$ thẳng hàng.

d) Dễ thấy $OBCI$ là hình thang vuông

Xét $\Delta OMI$ vuông tại $M$, đường cao $MA$ , ta có

$M{{A}^{2}}=OA.OI=16.9=144\Rightarrow MA=12$ (cm).

Mà $MA=MB=MC\Rightarrow BC=2MB=2MA=24$(cm).

${{S}_{OBCI}}=\frac{1}{2}\left( OB+CI \right).BC=300$ ($\text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}}$).

Viết một bình luận