Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn khi biết hệ thức giữa $d$ với $R,r$ và ngược lại

• Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức: a) Hai đường tròn cắt nhau: $R-r<O{O}'<R+r$. b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau: $\bullet $ Nếu hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$tiếp xúc ngoài thì $O{O}’=R+r$. $\bullet $ Nếu hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$tiếp xúc trong thì $O{O}’=R-r$. c) Hai đường tròn không giao nhau: $\bullet $ Nếu hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ở ngoài nhau thì$O{O}’>R+r$. $\bullet $ Nếu đường tròn $\left( O \right)$chứa đường tròn $\left( {{O}’} \right)$thì $O{O}'<R-r$.

Ví dụ 1. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn tâm $I\left( 1;2 \right)$, bán kính $R=3$ và đường tròn tâm $J\left( -2;-1 \right)$, bán kính $r=2$cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn đã cho. Hướng dẫn giải Gọi $H\left( -1;1 \right)$ thuộc đường tròn $\left( I \right)$. Xét tam giác $IHJ$ có $\widehat{H}=90{}^\circ ,IH=3,JH=3$. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $IHJ$có $I{{J}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{J}^{2}}={{3}^{2}}+{{3}^{2}}=18\Rightarrow IJ=3\sqrt{2}$. Ta có $IJ=3\sqrt{2}<3+2=R+r$. Vậy hai đường tròn $\left( I \right)$ và $\left( J \right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho đường tròn $\left( O \right)$ có đường kính $AB$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $OA,OB$. Dựng đường tròn tâm $M$ đường kính $OA$. Qua $N$ dựng đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm $C$. Dựng đường tròn $\left( I \right)$ đường kính $NC$. Xét vị trí tương đối của các đường tròn $\left( O \right)$, $\left( M \right)$, $\left( I \right)$.

Hướng dẫn giải

Đặt bán kính đường tròn tâm $O$ là ${{R}_{o}}=x$.

Khi đó bán kính đường tròn tâm $M$ là ${{R}_{M}}=\frac{x}{2}$.

Xét tam giác $ABC$ có $AB$ là đường kính của đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$nên $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Xét tam giác vuông $ABC$ với đường cao $CN$ có

$C{{N}^{2}}=AN.BN=\frac{3x}{2}.\frac{x}{2}=\frac{3{{x}^{2}}}{4}\Rightarrow CN=\frac{x\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó bán kính đường tròn $\left( I \right)$ là ${{R}_{I}}=\frac{1}{2}CN=\frac{x\sqrt{3}}{4}$.

$\bullet $ Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( M \right)$.

Ta có $OM=OA-MA={{R}_{O}}-{{R}_{M}}$.

Vậy đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( M \right)$ tiếp xúc nhau tại $A$.

$\bullet $ Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $OIN$ có

$O{{I}^{2}}=O{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}={{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{x\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7{{x}^{2}}}{16}\Rightarrow OI=\frac{x\sqrt{7}}{4}$.

Ta có ${{R}_{O}}-{{R}_{I}}=x-\frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{4-\sqrt{3}}{4}x$.

Ta có $OI>{{R}_{O}}-{{R}_{I}}$ nên hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

$\bullet $ Xét vị trí tương đối giữa hai đường tròn $\left( M \right)$ và $\left( I \right)$.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $MIN$ có

$M{{I}^{2}}=M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{3{{x}^{2}}}{16}=\frac{19{{x}^{2}}}{16}\Rightarrow MI=\frac{x\sqrt{19}}{4}$.

Ta có ${{R}_{M}}+{{R}_{I}}=\frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{3}}{4}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}x<MI$.

Vậy hai đường tròn $\left( M \right)$ và $\left( I \right)$không cắt nhau.