• Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $M$ là trung điểm của \[O{O}’\]. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$, cắt các đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ ở $C$ và $D$. Chứng minh rằng $AC=AD$.

Câu 2:

Cho hai đường tròn tâm $O$ và ${O}’$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Đường thẳng $AO$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm $C$, đường thẳng $A{O}’$ cắt đường tròn $\left( {{O}’} \right)$ tại điểm $D$.

a) Chứng minh rằng $C,B,D$ thẳng hàng.

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng \[O{O}’\]và $CD$.

c) Kẻ $CE$vuông góc với $DA$ và $DF$ vuông góc với $CA$. Chứng minh $E,F$ nằm trên các đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$.

d) Chứng minh rằng ba đường thẳng $CE$, $DF$và $AB$ đồng quy.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho đường tròn $\left( O \right)$và một điểm $A$ nằm trên đường tròn đó. Trên đoạn $OA$ lấy điểm $B$sao cho $OB=\frac{1}{3}OA$. Vẽ đường tròn đường kính $AB$.

a) Chứng minh đường tròn đường kính $AB$tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$cho trước.

b) Vẽ đường tròn đồng tâm $\left( O \right)$với đường tròn $\left( O \right)$cho trước, cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $C$. Tia $AC$ cắt hai đường tròn đồng tâm tại $D$ và $E$ ($D$ nằm giữa $C$ và $E$). Chứng minh $AC=CD=DE$.

Câu 4:

Cho đường tròn $\left( O \right)$, đường kính $AB$, điểm $C$ nằm giữa $A$ và $O$. Vẽ đường tròn $\left( I \right)$ có đường kính $CB$.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$.

b) Kẻ dây $DE$ của đường tròn $\left( O \right)$ vuông góc với $AC$ tại trung điểm $H$ của $AC$. Tứ giác $ADCE$ là hình gì? Vì sao?

c) Gọi $K$ là giao điểm của $DB$ và đường tròn $\left( I \right)$. Chứng minh $E,C,K$ thẳng hàng.

d) Chứng minh $HK$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( I \right)$.

Dạng 2: Các bài toán cho hai đường tròn cắt nhau

Câu 1.

Dựng $OI\bot AC$ và ${O}’J\bot AD$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$ và $J$ là trung điểm của $AD$nên $AC=2AI,AD=2AJ$.

Xét tứ giác $OIJ{O}’$ có $OI\text{//}{O}’J$ (cùng vuông góc với $IJ$ ).

Suy ra tứ giác $OIJ{O}’$là hình thang và $\widehat{I}=\widehat{J}=90{}^\circ $ nên tứ giác $OIJ{O}’$là hình thang vuông.

Có $MA\bot IJ$ nên $MA\text{//}OI\text{//}{O}’J$.

Vì $M$ là trung điểm của $O{O}’$ nên $A$ là trung điểm của $IJ$.

Hay $AI=AJ\Rightarrow 2AI=2AJ\Leftrightarrow AC=AD$.

Vậy $AC=AD$.

Câu 2.

a) Xét tam giác $ABC$ có cạnh $AC$ là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,C$ nên tam giác vuông tại $B$, tức là $BC\bot AB$. (1)

Xét tam giác $ABD$ có $AD$ là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,D$ nên tam giác vuông tại $B$, tức là $BD\bot AB$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B,C,D$ thẳng hàng.

b) Xét tam giác $ACD$có $O$ là trung điểm của $AC$;

${O}’$ là trung điểm của $AD$.

Suy ra $O{O}’$ là đường trung bình trong tam giác $ACD$.

Vậy $O{O}’$// $CD$ và $O{O}’$$=\frac{1}{2}CD$.

c) Vì tam giác $ACE$ vuông tại $E$ nên $OA=OC=OE$.

Khi đó $E$ nằm trên đường tròn tâm $O$ đường kính $AC$.

Vì tam giác $ADF$ vuông tại $F$ nên ${O}’A={O}’D={O}’F$.

Khi đó $F$ nằm trên đường tròn tâm ${O}’$ đường kính $AD$.

d) Gọi $I$ là giao điểm của $CE$ và $DF$.

Xét tam giác $ICD$ có 2 đường cao $DE$ và $CF$ cắt nhau tại $A$ nên $A$ là trực tâm tam giác $ICD$.

Suy ra $IA\bot CD$.

Mặt khác, ta có $AB\bot CD$.

Do đó $A,B,I$ thẳng hàng.

Vậy $AB,CE,DF$ đồng quy tại điểm $I$.

Câu 3.

a) Gọi ${O}’$ là tâm đường tròn đường kính $AB$.

Ta có đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ cắt nhau tại $A$.

Và $O{O}’$$=OA-{O}’A$ (với $OA$ là bán kính đường tròn $\left( O \right)$và ${O}’A$ là bán kính đường tròn $\left( {{O}’} \right)$).

Vậy đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ tiếp xúc trong với nhau tại điểm $A$.

b) Dựng $OI\bot CD$.

Suy ra $I$ là trung điểm của $CD$ hay $IC=ID$ (1)

Xét tam giác $OAE$ có $OA=OE$ nên tam giác cân tại $O$.

Khi đó $OI$ vừa là đường cao, vừa là trung tuyến.

Hay $IA=IE\Leftrightarrow AC+CI=DE+ID$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC=DE$. (*)

Tam giác $ABC$ có $AB$là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm $A,B,C$ nên tam giác vuông tại $C$ hay $AC\bot BC$.

Xét tam giác $AIO$ có $BC\text{//}OI$ (cùng vuông góc với $AI$ ) nên ta có

$\frac{AC}{IC}=\frac{AB}{OB}=2\Rightarrow AC=2IC\Leftrightarrow AC=CD$ . (**)

Từ (*) và (**) ta có $AC=CD=DE$.

Câu 4.

a) Ta có $B$ cùng nằm trên hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$.

Đường tròn $\left( O \right)$có bán kính $R=OB$ , đường tròn $\left( I \right)$ có bán kính $r=IB$.

Khi đó $R-r=OB-IB=OI$.

Vậy hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( I \right)$ tiếp xúc trong với nhau tại $B$.

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $OA\bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm $DE$.

Theo giả thiết $H$là trung điểm $AC$.

Xét tứ giác $ADCE$ có hai đường chéo $AC$và $DE$cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác $ADCE$ là hình bình hành.

Mặt khác $AC\bot DE$ nên tứ giác $ADCE$ là hình thoi.

c) Xét tam giác $ABD$ có $AB$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$ đi qua 3 điểm $A,B,D$ nên tam giác $ABD$ vuông tại $D$.

Xét tam giác vuông $ABD$ với $DH$ là đường cao có $\widehat{ADH}=\widehat{ABD}$ (cùng phụ góc $BAD$). (1)

Vì $ADCE$ là hình thoi nên $\widehat{ADH}=\widehat{HEC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{HEC}=\widehat{ABD}$.

Xét tam giác $EKD$ và $BHD$có

$\widehat{BDE}$ là góc chung;

$\widehat{HEC}=\widehat{ABD}$(chứng minh trên).

Suy ra $\Delta EKD\sim \Delta BHD$

$\Rightarrow \widehat{EKD}=\widehat{BHD}=90{}^\circ $ hay $EK\bot BD$ (3)

Xét tam giác $BCK$ có $BC$ là đường kính của đường tròn đi qua 3 điểm $B,C,K$ nên tam giác $BCK$ vuông tại $K$, hay $CK\bot BD$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $E,C,K$ thẳng hàng.

d) Xét tam giác $EKD$vuông tại $K$có $KH$ là đường trung tuyến nên $HK=HD=HE$.

Do đó tam giác $HKE$ cân tại $H$ nên $\widehat{HEC}=\widehat{HKE}$ (*)

Lại có tam giác $IBK$ cân tại $I$ nên $\widehat{IKB}=\widehat{IBK}$ (**)

Mặt khác $\widehat{HEC}=\widehat{ABD}$(chứng minh trên). (***)

Do đó từ (*), (**) và (***) ta có $\widehat{HKC}=\widehat{IKB}$.

Ta có $\widehat{HKI}=\widehat{HKC}+\widehat{CKI}=\widehat{IKB}+\widehat{CKI}=90{}^\circ $.

Hay $HK\bot IK$.

Vậy $HK$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( I \right)$.

.