Dạng 2: Các bài toán cho hai đường tròn cắt nhau

• Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau: 1. Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. 2. Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp. 3. Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$ cắt nhau tại $A$và $B$. Tính độ dài đoạn $O{O}’$, biết $OA=15\text{cm},{O}’A=13\text{cm},AB=24\text{cm}$. Hướng dẫn giải Vì $OA=OB$ và ${O}’A={O}’B$ nên $O{O}’$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $O{O}’$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AB$ và $O{O}’\bot AB$ tại $H$, suy ra $AH=\frac{1}{2}AB=12$ cm. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $AHO$ có $O{{A}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{O}^{2}}\Leftrightarrow {{15}^{2}}={{12}^{2}}+O{{H}^{2}}$ $\Leftrightarrow OH=9$ (cm). Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $AH{O}’$ có ${O}'{{A}^{2}}={O}'{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{13}^{2}}={O}'{{H}^{2}}+{{12}^{2}}$ $\Leftrightarrow {O}’H=5$ (cm). Vậy $O{O}’$= $HO+{O}’H=14$(cm).

• Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho đường tròn $\left( O \right)$đường kính $AB=25$cm. Vẽ đường tròn tâm $B$ bán kính $R=15$ cm, cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ và $D$.

a) Chứng minh $AC$là tiếp tuyến của đường tròn $\left( B \right)$.

b) Tính độ dài $AC$.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Tính các độ dài $AH$ và $HB$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $OA=OB=OC$.

Xét tam giác $ABC$ có $OA=OB=OC$nên tam giác vuông tại $C$.

Tức là $AC\bot BC$.

Vì $AC$cắt đường tròn $\left( B \right)$tại $C$ và $AC\bot BC$nên $AC$là tiếp tuyến của đường tròn $\left( B \right)$.

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $ABC$ có

$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{25}^{2}}=A{{C}^{2}}+{{15}^{2}}\Leftrightarrow AC=20$(cm).

c) Chứng minh tương tự phần a) ta có $AD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( B \right)$.

Vì tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $\left( B \right)$ cắt nhau tại $A$nên $AC=AD$ (1)

Và $BC=BD=R$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB$ là đường trung trực của đoạn thẳng $CD$.

Suy ra $CD\bot AB$ tại $H$.

Xét tam giác vuông $ABC$ với $CH$ là đường cao có

$A{{C}^{2}}=AH.AB\Leftrightarrow {{20}^{2}}=AH.25\Leftrightarrow AH=16$ (cm).

$B{{C}^{2}}=BH.BA\Leftrightarrow {{15}^{2}}=BH.25\Leftrightarrow BH=9$ (cm).