II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau

• Phương pháp giải

– Vẽ đường nối tâm và chú ý rằng tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, dùng hệ thức $d=R+r$ hoặc $d=R-r$. – Nếu cần, có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.

Ví dụ: Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$tiếp xúc ngoài tại điểm $A$. Đường thẳng $d$($d$ không trùng với $O{O}’$) qua điểm $A$cắt hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$lần lượt tại $C$ và $D$. Chứng minh rằng $OC\text{//}{O}’D$. Hướng dẫn giải Tam giác $OAC$ có $OA=OC$ nên tam giác cân tại $O\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{OCA}$ (1) Tam giác ${O}’AD$ có ${O}’A={O}’D$ nên tam giác cân tại ${O}’\Rightarrow \widehat{{O}’AD}=\widehat{{O}’DA}$ (2) Mặt khác $\widehat{OAC}=\widehat{{O}’AD}$ (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{{O}’DA}$(so le trong) $\Rightarrow $ $OC\text{//}{O}’D$. Vậy $OC\text{//}{O}’D$.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ.

Cho hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$tiếp xúc ngoài tại $A$. Kẻ các đường kính $AOB$ và $A{O}’C$. Gọi $DE$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ($D$ thuộc $\left( O \right)$, $E$ thuộc $\left( {{O}’} \right)$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.

a) Tính số đo góc $DAE$?

b) Tứ giác $ADME$ là hình gì?

c) Chứng mính $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác cân $OAD$ và ${O}’CE$ có

$\frac{OD}{{O}’E}=\frac{OA}{{O}’C}$;

$\widehat{DOA}=\widehat{E{O}’C}$ (góc đồng vị);

$\Rightarrow \Delta OAD\sim \Delta {O}’CE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{{O}’EC}=\widehat{OAD}$.

Tam giác ${O}’AE$ cân tại ${O}’$ nên $\widehat{{O}’AE}=\widehat{{O}’EA}$.

Ta có $\widehat{AE{O}’}=\widehat{{O}’EC}=90{}^\circ \Leftrightarrow \widehat{{O}’AE}=\widehat{OAD}=90{}^\circ $.

Suy ra $\widehat{DAE}=180{}^\circ -\left( \widehat{OAD}+\widehat{{O}’AE} \right)=90{}^\circ $.

Vậy $\widehat{DAE}=90{}^\circ $.

b) Vì đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ đi qua 3 điểm $A,B,D$ nên $AD\bot BD$.

Vì đường tròn $\left( {{O}’} \right)$ đường kính $AC$ đi qua 3 điểm $A,C,E$ nên $AE\bot CE$.

Xét tứ giác $ADME$ có $\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=90{}^\circ $ nên tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.

c) Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $\widehat{DAM}=\widehat{ADE}$.

Tam giác $OAD$ cân tại $O$ nên $\widehat{DAO}=\widehat{ODA}$.

Ta có $\widehat{ADE}+\widehat{ODA}=90{}^\circ =\widehat{DAM}+\widehat{OAD}$.

Suy ra $MA\bot AB$ hay $MA\bot BC$.

Vì $MA\bot AB$tại $A$ nên $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Vì $MA\bot AC$tại $A$ nên $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {{O}’} \right)$.

Vậy $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}’} \right)$.