• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$. Đường thẳng vuông góc với $OA$tại $O$ cắt $MB$ tại $C$. Chứng minh $CM=CO$.

Câu 2:

Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng qua $I$và vuông góc với $IA$ cắt $OB$tại $K$. Chứng minh:

a) $IK\text{//}OA$ .

b) Tam giác $IOK$ cân.

Bài tập nâng cao

Câu 3:

Cho đường tròn tâm $O$, $K$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ với đường tròn ($A,B$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $AOC$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$tại $C$ cắt $AB$ ở $E$.

a) Chứng minh các tam giác $KBC$ và $OBE$ đồng dạng.

b) Chứng minh $CK$ vuông góc với $OE$.

Câu 4:

Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $\left( O;R \right)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$ (với $B$, $C$là các tiếp điểm). Kẻ $BE$ vuông góc với$AC$và $CF$ vuông góc với $AB$($E,F$ thuộc $AC,AB$), $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BOCH$ là hình thoi.

b) Chứng minh ba điểm $A,H,O$ thẳng hàng.

ĐÁP ÁN

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $\widehat{BMO}=\widehat{AMO}$ (1)

Vì $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MA\bot OA$.

Suy ra $MA\text{//}OC$ (cùng vuông góc với $OA$).

$\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{COM}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{COM}=\widehat{CMO}$.

Xét tam giác $COM$ có $\widehat{COM}=\widehat{CMO}$ nên tam giác $COM$ cân tại $C$.

Vậy $CM=CO$.

Câu 2.

a) Vì $IA$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $IA\bot OA$.

Mặt khác $IK\bot OA$(giả thiết).

Suy ra $IK\text{//}OA$ (cùng vuông góc với $IA$).

b) Vì $IK\text{//}OA$ nên $\widehat{AOI}=\widehat{KIO}$ (so le trong) (1)

Vì tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $I$ nên $\widehat{BOI}=\widehat{AOI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{KOI}=\widehat{KIO}$.

Xét tam giác $IOK$ có $\widehat{KOI}=\widehat{KIO}$nên tam giác $IOK$cân tại $K$.

Bài tập nâng cao

Câu 3.

a) Tam giác $ABC$ có $AC$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$ngoại tiếp tam giác nên $ABC$ vuông tại $B$, tức là $CB\bot AB$.

Vì $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên$CE\bot AC$.

Xét tam giác $ACE$ vuông tại $C$, đường cao $CB$có

$\widehat{BCE}=\widehat{BAC}$ (cùng phụ góc $CEA$). (1)

Ta lại có $\widehat{OKA}=\widehat{OKB}$(tính chất tiếp tuyến cắt nhau);

$\widehat{AKO}=\widehat{BAC}$(góc có 2 cạnh tương ứng vuông góc);

$\Rightarrow \widehat{OKB}=\widehat{BAC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BCE}=\widehat{OKB}$.

Xét hai tam giác vuông $KBO$ và $CBE$ có $\widehat{BCE}=\widehat{OKB}$

$\Rightarrow \Delta KBO\sim \Delta CBE$ (g.g)

Suy ra $\frac{KB}{CB}=\frac{OB}{EB}$.

Ta có $\widehat{KBC}=\widehat{KBO}+\widehat{OBC}=90{}^\circ +\widehat{OBC}$ (3)

$\widehat{OBE}=\widehat{BOC}+\widehat{CBE}=90{}^\circ +\widehat{OBC}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{KBC}=\widehat{OBE}$.

Xét tam giác $KBC$ và $OBE$ có

$\widehat{KBC}=\widehat{OBE}$;

$\frac{KB}{CB}=\frac{OB}{EB}$;

$\Rightarrow \Delta KBC\sim \Delta OBE$ (c.g.c)

b) Gọi $I,J$ lần lượt là giao điểm của $CK$ với $OB,CE$.

Vì $\Delta KBC\sim \Delta OBE$nên $\widehat{CKB}=\widehat{EOB}$.

Xét tam giác $OIJ$ và $KBJ$ có

$\widehat{CKB}=\widehat{EOB}$;

$\widehat{OJI}=\widehat{KJB}$ (đối đỉnh);

$\Rightarrow \widehat{OIJ}=\widehat{KBJ}=90{}^\circ $.

Vậy $CK\bot OE$.

Câu 4.

a) Vì $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AC\bot OC$.

Do đó $BE\text{//}OC$ (cùng vuông góc với $AC$) suy ra $BH\text{//}OC$.

Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $AB\bot OB$.

Do đó $CF\text{//}OB$ ( cùng vuông góc với $AB$) suy ra $CH\text{//}OB$.

Xét tứ giác $BOHC$ có $BH\text{//}OC$ và $CH\text{//}OB$ nên $BOCH$ là hình bình hành.

Mặt khác $OB=OC=R$.

Vậy tứ giác $BOHC$ là hình thoi.

b) Vì $BOHC$ là hình thoi (chứng minh phần a)

nên $OH\bot BC$ (1)

Vì $OB=OC=R$ và $AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ suy ra $AO\bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,H,A$ thẳng hàng.