II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc

• Phương pháp giải

Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: – Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. – Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. – Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Ví dụ: Cho đường tròn $\left( O;R \right)$, dây $AB$ không là đường kính. Qua $O$ kẻ đường vuông góc với $AB$, cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn tại điểm $C$. Chứng minh $CA=CB$. Hướng dẫn giải Gọi $I$ là giao điểm của $OC$ với $AB$. Vì $OC\bot AB$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Xét tam giác $ABC$ có $CI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác $ABC$cân tại $C$. Vậy $CA=CB$.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Hai tiếp tuyến tại $B$và $C$của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau ở $A$.

a) Chứng minh $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Vẽ đường kính $CD$ của $\left( O \right)$. Chứng minh $BD$ và $OA$ song song.

Hướng dẫn giải

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $AB=AC$.

Ta lại có $OB=OC=R$.

Suy ra $A,O$ là hai điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng $BC$.

Vậy $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Xét tam giác $BCD$ có $CD$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$ngoại tiếp tam giác nên tam giác $BCD$ vuông tại $B$.

Suy ra $DB\bot BC$.

Mặt khác ta có $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ nên $AO\bot BC$.

Vậy $DB\text{//}AO$ (cùng vuông góc với $BC$).