Dạng 3. Tính độ dài của đoạn thẳng

• Phương pháp giải

Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyến và định lý Py-ta-go.

Ví dụ:

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $3\text{ cm}$ và một điểm $A$ cách $O$ là $5\text{ cm}$. Kẻ đường thẳng $\text{AB}$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $B$. Tính độ dài đoạn $AB$.

Hướng dẫn giải

Vì $AB$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $B$ nên $AB\bot OB$.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $ABO$ có

$A{{O}^{2}}=A{{B}^{2}}+O{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{5}^{2}}=A{{B}^{2}}+{{3}^{2}}\Leftrightarrow AB=4\left( \text{cm} \right)$Vậy $AB=4\text{ cm}$.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=10\text{ cm}$. Dựng đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $I$ (khác $A,B$). Từ $A,B$ dựng các đường thẳng vuông góc với $d$ theo thứ tự tại $D,C$, biết $CD=8\text{ cm}$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$?

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $I$ nên $OI\bot d$.

Vì $OI\bot d,AD\bot d$ và $BC\bot d\Rightarrow AD\parallel BC\parallel OI$.

Do đó tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông.

Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OI$ là đường trung bình trong hình thang.

Diện tích hình thang $ABCD$ là:

${{S}_{ABCD}}=\frac{\left( AD+BC \right)}{2}.CD=OI.CD=40\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$.

Ví dụ 2.

Cho đường tròn $\left( O;13 \right)$ và dây $AB=24$. Vẽ một tiếp tuyến song song với $AB$, cắt các tia $OA,OB$ lần lượt tại $M$ và $N$. Tính diện tích tam giác $OMN$?

Hướng dẫn giải

Giả sử $MN$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $J$.

Khi đó $OJ\bot MN,OJ\bot AB$ và $OJ$ cắt $AB$ tại $I$.

Vì $OI\bot AB$ nên $I$ là trung điểm của $AB$ hay $IA=IB=12$.

Xét tam giác vuông $OIA$ có $O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{13}^{2}}=O{{I}^{2}}+{{12}^{2}}\Leftrightarrow OI=5$.

Ta có tam giác $OAB$ đồng dạng với tam giác $OMN$ theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{OI}{OJ}=\frac{5}{13}$.

Khi đó $\frac{AB}{MN}=\frac{5}{13}\Leftrightarrow MN=\frac{312}{5}$.

Vậy diện tích tam giác $OMN$ là ${{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}OJ.MN=\frac{1}{2}.13.\frac{312}{5}=\frac{2028}{5}$.