• Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( 1;3 \right)$. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn $\left( A;2 \right)$ với hai trục tọa độ.

Câu 2.

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=6,AC=10$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng $AB,BC$ với đường tròn $\left( O;3 \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Cho tam giác $ABC$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường phân giác ngoài của góc $B$ và $C$. Dựng đường tròn tâm $O$, tiếp xúc với cạnh $BC$. Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng $AB,AC$ với đường tròn tâm $O$.

Câu 4.

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $I$ là giao điểm của các phân giác. Xác định vị trí của đường thẳng $AC$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$.

Dạng 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Câu 1.

Ta có khoảng cách từ điểm $A$ đến trục $Ox$ bằng $3>R=2$ nên đường tròn $\left( A;2 \right)$ không cắt trục $Ox$.

Khoảng cách từ điểm $A$ đến trục $Oy$ bằng $1<R=2$ nên đường tròn $\left( A;2 \right)$ cắt trục $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 2.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông $ABC$ có

$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{10}^{2}}={{6}^{2}}+B{{C}^{2}}\Leftrightarrow BC=8\left( \text{cm} \right)$.

Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AD,BC$ bằng $\frac{1}{2}AB=3$ nên $AD,BC$ tiếp xúc với $\left( O;3 \right)$.

Khoảng cách từ $O$ đến $AB,CD$ bằng $\frac{1}{2}AD=4$ nên $AB$ và $CD$ không cắt đường tròn $\left( O;3 \right)$.

Bài tập nâng cao

Câu 3.

Dựng $OD\bot BC,OE\bot AC,OF\bot AB\left( D\in BC;E\in AC;F\in AB \right)$

Vì $\left( O \right)$ tiếp xúc với $BC$ nên $D$ là tiếp điểm và $OD=R$.

Xét tam giác $OBD$ và tam giác $OBF$ có

Cạnh $OB$ chung;

$\widehat{F}=\widehat{D}={{90}^{\circ }}$;

$\widehat{OBD}=\widehat{OBF}$.

Do đó $\Delta OBD=\Delta OBF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow OD=OF=R$.

Vì khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $AB$ bằng $OF=R$ nên $AB$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $F$.

Chứng minh tương tự ta có $AC$ tiếp xúc với đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$.

Câu 4.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$.

Vì $I$ và $O$ cùng thuộc đường trung trực của $BC$ nên 3 điểm $A,I,O$ thẳng hàng và $AO\bot BC$.

Ta có $\widehat{OCI}=\widehat{OIC},\widehat{ICA}=\widehat{ICB}$ nên $\widehat{OCI}+\widehat{ICA}=\widehat{OIC}+\widehat{ICB}={{90}^{\circ }}$

$\Rightarrow \widehat{ACO}={{90}^{\circ }}\Rightarrow AC\bot OC$.

Vì $AC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ và $OC\bot CA$ nên $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.