-
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1.
Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $I$ thuộc miền trong của đường tròn. Qua $I$ kẻ một dây $AB$ bất kì và một dây $CD$ vuông góc với $OI$. Tia $OI$cắt đường tròn tại điểm $E$. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ và $OH$ cắt đường tròn ở điểm $F$.
- So sánh $AB$ và $CD$.
- Chứng minh rằng $IE<HF$.
Câu 2.
Tứ giác $ABCD$ có góc $A$ và $C$ bằng ${{90}^{\circ }}$.
- Chứng minh rằng $AC\le BD$.
- Trong trường hợp nào thì $AC=BD$?
Bài tập nâng cao
Câu 3.
Cho tứ giác $ABCD$ có góc $B$ và $D$ bằng ${{90}^{\circ }}$.
- Chứng minh rằng bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn.
- So sánh độ dài $AC$ và $BD$.
Câu 4.
Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A,B$ ở bên trong đường tròn. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Qua $A$ và $B$, kẻ các đường thẳng song song với $MO$, chúng cắt đường tròn tạo thành hai dây $CD$ và $EF$. Chứng minh rằng $CD=EF$.
Dạng 2. So sánh độ dài của dây cung và các đoạn thẳng liên quan
Bài tập cơ bản
Câu 1.
- Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên $OH\bot AB$.
Vì tam giác $OHI$ vuông tại $H$ nên $OI>OH$.
Theo định lí ta suy ra được $AB>CD$.
- Vì $OI>OH$ nên $R-OI<R-OH\Leftrightarrow IE<HF$.
Câu 2.
- Vì tam giác $ABD$ vuông tại $A$ nên ba điểm $A,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BD$.
Vì tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên ba điểm $B,C,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BD$.
Vậy bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BD$.
Vì $BD$ là đường kính và $AC$ là dây cung của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ nên $BD\ge AC$.
- Giả sử $BD=AC$.
Vì $BD$ là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ nên dây $AC$ cũng là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$.
Khi đó trung điểm của $AC$ và $BD$ phải trùng nhau hay $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Xét tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác là hình bình hành.
Mặt khác góc $A$ bằng ${{90}^{\circ }}$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật.
Vậy $ABCD$ là hình chữ nhật thì $AC=BD$.
Bài tập nâng cao
Câu 3.
- Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $OA=OB=OC$.
Vì tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $OA=OD=OC$.
Suy ra $OA=OB=OC=OD$.
Vậy bốn điểm$A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là $AC$.
- Vì $AC$ là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$.
- Nếu góc $A$ và $C$ cùng bằng ${{90}^{\circ }}$ thì $BD$ cũng là đường kính của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$. Khi đó $AC=BD$.
- Nếu góc $A$ hoặc $C$ không vuông thì $BD$ là dây cung của đường tròn đi qua bốn điểm $A,B,C,D$. Khi đó $AC>BD$.
Câu 4.
Dựng $OK\bot CD$ và $OH\bot EF$.
Vì $CD\parallel EF$ (giả thiết) nên $O,H,K$ thẳng hàng.
Xét tứ giác $ABHK$ có $AK\parallel BH$ và $\widehat{H}=\widehat{K}={{90}^{\circ }}$ nên $ABHK$ là hình thang vuông.
Vì \[M\] là trung điểm của \[AB\] và \[MO\parallel AK\parallel BH\] nên \[O\] là trung điểm của \[KH\].
Tức là \[OH=OK\].
Do đó khoảng cách từ \[O\] đến dây \[CD\] bằng khoảng cách từ \[O\] đến dây \[EF\] nên \[CD=EF\].
