Dạng 2. So sánh độ dài của dây cung và các đoạn thẳng liên quan

• Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức:

Trong một đường tròn

• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Trong một đường tròn

• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
• Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ví dụ:

Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $R=5\text{ cm}$. So sánh độ dài hai dây cung $AB$ và $CD$ biết $AB=6\text{ cm}$ và khoảng cách từ $O$ đến dây $CD$ bằng $3\text{ cm}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$.

Theo giả thiết ta có $OI=3\text{ cm}$.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $OID$ ta có

$\begin{array} & O{{D}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{D}^{2}}\Leftrightarrow {{5}^{2}}={{3}^{3}}+I{{D}^{2}} \\ \Leftrightarrow ID=4\text{ cm}\text{.} \\ \end{array}$

Khi đó độ dài dây cung $CD$ là $4.2=8\text{ cm}$

Vậy $CD>AB$.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $R=10\text{ cm}$. So sánh khoảng cách từ tâm $O$ đến hai dây cung $AB$ và $CD$. Biết $AB=16\text{ cm}$ và khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $CD$ bằng $4\text{ cm}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

Theo mối liên hệ giữa đường kính và dây cung ta có $OI\bot AB,OJ\bot CD$.

Khi đó $OJ=4\text{ cm}$.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $OIA$ có

$O{{A}^{2}}=O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}\Leftrightarrow {{10}^{2}}=O{{I}^{2}}+{{8}^{2}}\Leftrightarrow OI=6\left( \text{cm} \right)$.

Vậy $OI>OJ$.