• Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1:

Người ta cần dựng cái thang đến một bức tường. Biết góc tại bởi cái thang và mặt đất là $50{}^\circ$ thì đảm bảo sự an toàn khi bắt thang. Tính chiều dài của thang, biết khoảng cách từ chân tường đến chân thang là 3,2 m.

Câu 2:

Một cây tre cao 9 m bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc 3 m. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét?

Câu 3:

Giữa nhà kho và phân xưởng của một nhà máy, người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai tòa nhà là 10 m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở độ cao 8 m và 4 m so với mặt đất. Tìm độ dài AB của băng chuyền.

Câu 4:

Hai trụ điện có cùng chiều cao được dựng thẳng đứng ở hai bên lề đường của một đại lộ rộng 80 m. Từ một điểm M trên mặt đường giữa hai trụ điện, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng lần lượt là $30{}^\circ$ và $60{}^\circ$. Tính chiều cao của trụ điện và khoảng cách từ M đến mỗi trụ điện.

Dạng 3. Một số bài toán thực tế

Câu 1.

Đặt cái thang như hình vẽ. Ta có $AB=3,2\,m,\widehat{A}=50{}^\circ .$ Vậy chiều dài của thang chính là độ dài AH. Xét tam giác ABH vuông tại B, ta có: $\cos A=\frac{AB}{AH}\Rightarrow AH=\frac{AB}{\cos A}=\frac{3,2}{\cos 50{}^\circ }\approx 4,98\,m.$ Vậy chiều dài của tháp là 4,98 m.

Câu 2.

Khoảng cách từ gốc cây đến chỗ bị gãy là AB. Khoảng cách từ chỗ thân tre bị gãy đến ngọn cây là BC. Khoảng cách từ ngọn cây chạm đất đến gốc là AC. Đặt độ dài $AB=x>0$suy ra: $BC=9-x.$ Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{3}^{2}}={{\left( 9-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+9=81-18x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow 18x=72\Leftrightarrow x=4.$

Vậy điểm gãy cách gốc 4 m.

Câu 3.

Ta có hình vẽ

Dựng AH vuông góc với BC tại H.

Xét tam giác AHB vuông tại H:

$AH=DC=10,HB=BC-AD=8-4=4\,m$

$\Rightarrow AB=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{116}\approx 10,78\,m$

Câu 4.

Gọi AB, CD lần lượt là hai trụ điện, A và C là chân trụ điện.

Ta có: $\cot \widehat{AMB}=\frac{AM}{AB};\cot \widehat{CMD}=\frac{CM}{CD}.$

$AC=AM+CM=AB.\left( \cot 60{}^\circ +\cot 30{}^\circ \right)=AB.\left( \sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\frac{4\sqrt{3}}{3}.AB\Rightarrow AB=\frac{AC}{4}\sqrt{3}\approx 34,64\,m.$

$AM=AB.\cot 30{}^\circ =60\left( m \right),CM=AC-AM=20\left( m \right)$.

Vậy chiều cao trụ điện xấp xỉ 34,64 m và khoảng cách từ M tới mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 60 m.

.