Dạng 3: Một số bài toán thực tế

• Phương pháp giải

+) Để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hệ thức lượng và tỉ số lượng giác trong tam giác ta cần phân tích bài toán, chuyển các dữ kiện thực tế về cạnh, góc trong tam giác vuông.

+) Một số trường hợp cần kẻ thêm hình phụ để xuất hiện tam giác vuông.

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1.

Từ đỉnh của một ngọn đèn biển cao 38 m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một hòn đảo dưới một góc $30{}^\circ$ so với đường nằm ngang chân đèn. Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Gọi A là đỉnh của ngọn đèn biển, B là chân đèn, C là hòn đảo.

Xét tam giác ABC vuông tại B có: $AB=38\,m,\widehat{ACB}=30{}^\circ .$

Khi đó

$BC=AB.\cot \widehat{ACB}=38.\cot 30{}^\circ \approx 65,82\left( m \right).$

Ví dụ 2.

Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $35{}^\circ$ thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài là 20 m.

Hướng dẫn giải

Gọi AB là chiều cao của tháp, BC là bóng của tháp trên mặt đất, $\widehat{ACB}$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

$AB=BC.\tan \widehat{ACB}\Rightarrow AB=20.\tan 35{}^\circ \approx 14\left( m \right).$

Ví dụ 3.

Hình vẽ dưới đây minh họa một chiếc cầu trượt đặt trên mảnh đất phẳng nằm ngang. Vùng trượt nằm nghiêng tạo với mặt đất một góc an toàn có số đo là $40{}^\circ .$ Đoạn thẳng AC minh họa cho chiều dài vùng trượt. Biết điểm A ở độ cao 2,3 m so với mặt đất và điểm C nằm trên mặt đất. Tính chiều dài của vùng trượt.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại B, có cạnh huyền AC nên chiều dài vùng trượt là $AC=\frac{2,3}{\sin 40{}^\circ }\approx 3,6\left( m \right).$

Ví dụ 4.

Để đo chiều cao CD của một cái tháp (C là chân tháp, D là đỉnh tháp), một người chọn hai điểm A, B sao cho C, A, B thẳng hàng và quan sát tháp, kết quả quan sát như hình vẽ, A cách B khoảng cách 24 m. Tính chiều cao của tháp.

Hướng dẫn giải

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CAD, CBD ta có: $\frac{AC}{DC}=\cot \widehat{DAC}=\cot 60{}^\circ ;$ $\frac{BC}{DC}=\cot \widehat{DBC}=\cot 48{}^\circ .$ $\Rightarrow CD=\frac{AB}{\cot 48{}^\circ -\cot 60{}^\circ }=\frac{24}{\cot 48{}^\circ -\cot 60{}^\circ }\approx 74,3\left( m \right)$. Vậy chiều cao của tháp xấp xỉ $74,3\,m.$

Ví dụ 5.

Một người đứng trên ngọn hải đăng cao 75 m, người ấy nhìn hai lần một chiếc thuyền đang chạy hướng về ngọn hải đẳng với góc hạ lần lượt là $30{}^\circ$ và $45{}^\circ$. Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu mét sau hai lần quan sát? Biết thuyền không đổi hướng trong quá trình chuyển động.

Hướng dẫn giải

Gọi B là đỉnh ngọn hải đăng, C và D là hai vị trí của thuyền (thuyền đã di chuyển từ D đến C).

Ta có: $\cot \widehat{BDA}=\frac{AD}{AB};\cot \widehat{BCA}=\frac{AC}{AB}.$

$\Rightarrow \frac{DC}{AB}=\frac{DA-CA}{AB}=\cot 30{}^\circ -\cot 45{}^\circ =\sqrt{3}-1\Rightarrow CD=75.\left( \sqrt{3}-1 \right)\approx 54,9\left( m \right)$.

Vậy chiếc thuyền đã chạy được xấp xỉ 55 m sau hai lần quan sát.