Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác
-
Phương pháp giải
|
Bước 1: Làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao. Bước 2: Áp dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. |
Ví dụ:Cho tam giác ABC có $AB=5$, $\widehat{B}=45{}^\circ ,$ $\widehat{C}=30{}^\circ .$ Tính độ dài cạnh BC. Hướng dẫn giải
Kẻ $AN\bot BC.$ +) Trong $\Delta ANB$ vuông tại N, ta có: $BN=AB.\cos B=5.cos45{}^\circ =\frac{5\sqrt{2}}{2}.$ $AN=AB.\sin B=5.\sin 45{}^\circ =\frac{5\sqrt{2}}{2}.$ +) Trong $\Delta ANC$ vuông tại N, ta có: $CN=AN.\cot C=\frac{5\sqrt{2}}{2}.\cot 30{}^\circ =\frac{5\sqrt{6}}{2}.$ Vậy $BC=AN+CN=\frac{5\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{2}\approx 9,6.$ |
-
Ví dụ mẫu
Ví dụ.
Cho tam giác ABC có $BC=11\,cm,\widehat{ABC}=38{}^\circ $ và $\widehat{ACB}=30{}^\circ .$ Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Tính độ dài đoạn thẳng AN, AC.
Hướng dẫn giải
|
Từ B hạ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Xét $\Delta BHC$ vuông tại H, ta có $\widehat{HBC}+\widehat{HCB}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông). Do đó: $\widehat{HBC}=90{}^\circ -\widehat{HCB}=90{}^\circ -30{}^\circ =60{}^\circ .$ Mà $\widehat{HBA}+\widehat{ABC}=\widehat{HBC}$ $\Rightarrow \widehat{HBA}=\widehat{HBC}-\widehat{ABC}=60{}^\circ -38{}^\circ =22{}^\circ .$ |
|
Lại có $BH=BC.\sin C=11.\frac{1}{2}=5,5\,cm.$
Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và góc trong tam giác $\Delta BHA$ vuông tại H, ta có:
$BH=AB.\cos \widehat{HBA}\Rightarrow AB=\frac{BH}{\cos \widehat{HBA}}=\frac{5,5}{\cos 22{}^\circ }\approx 5,93\,cm.$
Xét $\Delta ABN$ vuông tại N, ta có $\sin 38{}^\circ =\frac{AN}{AB}.$
$\Rightarrow AN=AB.\sin 38{}^\circ =5,93.\sin 38{}^\circ \approx 3,65\,cm.s$
Xét $\Delta ANC$ vuông tại N, ta có $AN=AC.\sin C\Rightarrow AC=\frac{AN}{\sin C}=\frac{3,65}{\sin 30{}^\circ }=7,3\,cm.$
|
Bước 1. Kẻ thêm đường cao để làm xuất hiện tam giác vuông. Bước 2. Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông (hoặc tỉ số lượng giác). |