-
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $BC=a,AC=b,AB=c.$ Giải tam giác ABC biết:
a) $b=13\,cm,\widehat{B}=45{}^\circ .$ b) $a=25\,cm,\widehat{C}=75{}^\circ .$
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $BC=a,AC=b,AB=c.$ Giải tam giác ABC biết:
a) $a=39\,cm,b=36\,cm.$ b) $b=8\,cm,c=6\,cm.$
Bài tập nâng cao
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $AC>AB.$ Đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh $AD.AB=AE.AC$ và tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.
b) Cho biết $BH=2\,cm,HC=4,5\,cm.$
i) Tính độ dài đoạn thẳng DE.
ii) Tính số đo góc $\widehat{ABC}$ (làm tròn đến độ).
iii) Tính diện tích tam giác ADE.
Câu 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\widehat{C}=60{}^\circ ;AB=8\,cm$. Kéo dài CA một đoạn $AE=AB.$ Kẻ $EK\bot BC$, EK cắt BA tại Q.
a) Giải tam giác ABC (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
b) Chứng minh ${{S}_{\Delta BCE}}=\frac{1}{2}BC.BE.\sin \widehat{EBC}$.
c) Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BE, QC, AK. Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Dạng 1. Giải tam giác vuông
Câu 1.
|
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông). Suy ra $\widehat{C}=90{}^\circ -\widehat{B}=90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ $. Do đó $\Delta ABC$ vuông cân tại A nên $AB=AC=13\,cm$ (theo định nghĩa tam giác cân). Lại có: $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$ (theo định lí Py-ta-go). Vậy $BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{13}^{2}}+{{13}^{2}}}=13\sqrt{2}\,cm.$ |
|
|
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông). Suy ra $\widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{C}=90{}^\circ -75{}^\circ =15{}^\circ .$ Theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: +) $AC=BC.\cos C=25.cos75{}^\circ \approx 6,47\,cm.$ +) $AB=BC.\sin C=25.\sin 75{}^\circ \approx 24,15\,cm.$ |
|
Câu 2.
|
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{39}^{2}}-{{36}^{2}}}=\sqrt{225}=15\,cm.$ Ta cũng có: $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{36}{39}=\frac{12}{13}\Rightarrow \widehat{C}\approx 22{}^\circ 3{7}’.$ Do $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông) nên $\widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{C}=90{}^\circ -22{}^\circ 3{7}’=67{}^\circ 2{3}’.$ |
|
|
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A, theo định lí Py-ta-go ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{100}=10\,cm.$ Ta cũng có: $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\Rightarrow \widehat{B}\approx 53{}^\circ {7}’$. Do $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông) nên $\widehat{C}=90{}^\circ -\widehat{B}=90{}^\circ -53{}^\circ {7}’=36{}^\circ 5{3}’.$ |
|
Câu 3.
|
a) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông AHC và AHB ta có: $AE.AC=A{{H}^{2}}=AD.AB\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}.$ Xét $\Delta ABC$ và $\Delta AED$ ta có: $\widehat{A}$ chung; $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$ (chứng minh trên). Do đó $\Delta ABC\backsim \Delta AED\left( c.g.c \right)$. |
|
b)
i) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH ta có:
$A{{H}^{2}}=BH.HC\Rightarrow AH=\sqrt{BH.HC}=\sqrt{2.4,5}=3\,cm.$
Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $DE=AH=3\,cm.$
ii) Xét $\Delta AHB$ vuông tại H ta có:
$\tan \widehat{ABC}=\frac{AH}{BH}=\frac{3}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 56{}^\circ .$
iii) Xét $\Delta BDH$ vuông tại D có:
$DH=BH.\sin \widehat{DBH}\Rightarrow AE=DH=2.\sin 56{}^\circ \approx 1,66\,cm.$
Xét $\Delta ADH$ vuông tại D, ta có:
$A{{D}^{2}}+D{{H}^{2}}=A{{H}^{2}}$ (Định lí Py-ta-go)
$\Rightarrow AD=\sqrt{A{{H}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-1,{{66}^{2}}}\approx 2,5\,cm.$
$\Rightarrow {{S}_{ADE}}=\frac{1}{2}AD.AE=\frac{1}{2}.2,5.1,66=2,075\,c{{m}^{2}}.$
Câu 4.
|
a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông) $\Rightarrow \widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{C}=90{}^\circ -60{}^\circ =30{}^\circ .$ $AC=AB.\cos \widehat{ACB}$ (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông) $\Rightarrow AC=8.\cos 60{}^\circ =4\,cm$ $A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$ (định lí Py-ta-go) $\Rightarrow BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}\approx 8,94\,cm.$ b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác EKB vuông tại K ta có: $\sin \widehat{EBC}=\frac{EK}{EB}\Rightarrow EB.\sin \widehat{EBC}=EK.$ $VP=\frac{1}{2}BC.\left( EB.\sin \widehat{EBC} \right)=\frac{1}{2}.EC.EK={{S}_{\Delta BCE}}=VT$, suy ra điều phải chứng minh. c) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của các tam giác vuông có cùng cạnh huyền: $\Delta QKC,\Delta QAC$ có N là trung điểm của QC: $NK=NA=\frac{QC}{2}.$ $\Delta EKB,\Delta EAB$ có M là trung điểm của EB: $MK=MA=\frac{BE}{2}.$ Suy ra M, N thuộc trung trực AK. Lại có I là trung điểm AK nên M, N, I thẳng hàng. |
|
