• Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1:

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh:

a) $\sin 30{}^\circ $ và $\sin 69{}^\circ .$ b) $\cos 81{}^\circ $ và $\cos 40{}^\circ $.

Câu 2:

Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn

a) $\tan 13{}^\circ ,\cot 51{}^\circ ,\tan 28{}^\circ ,\cot 79{}^\circ 1{5}’,\tan 47{}^\circ .$

b) $\cos 62{}^\circ ,sin50{}^\circ ,cos63{}^\circ 4{1}’,sin47{}^\circ ,\cos 83{}^\circ .$

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $\cos B=\frac{1}{3}.$ Tính các giá trị lượng giác của góc C.

Bài tập nâng cao

Câu 4:

Cho $\cos \alpha =\frac{3}{4}$, với $0{}^\circ <\alpha <90{}^\circ $. Tính $A=\frac{\tan \alpha +3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }.$

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có $\widehat{ABC}=\alpha .$ Tìm giá trị lớn nhất của $S=4.\sin \alpha +3.\cos \alpha .$

Dạng 2. Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Bài tập cơ bản

Câu 1.

a) Ta có $\sin 30{}^\circ <\sin 69{}^\circ .$ b) Ta có $\cos 81{}^\circ <\cos 40{}^\circ .$

Câu 2.

a) Ta có $\cot 51{}^\circ =\cot \left( 90{}^\circ -39{}^\circ \right)=\tan 39{}^\circ .$

$\cot 79{}^\circ 1{5}’=cot\left( 90{}^\circ -10{}^\circ 4{5}’ \right)=\tan 10{}^\circ 4{5}’.$

Mà $\tan 10{}^\circ 4{5}'<\tan 13{}^\circ <\tan 28{}^\circ <\tan 39{}^\circ <tan47{}^\circ $

Nên $\cot 79{}^\circ 1{5}'<\tan 13{}^\circ <\tan 28{}^\circ <\cot 51{}^\circ <\tan 47{}^\circ .$

b) Ta có $\sin 50{}^\circ =\sin \left( 90{}^\circ -40{}^\circ \right)=\cos 40{}^\circ $

$\sin 47{}^\circ =\sin \left( 90{}^\circ -43{}^\circ \right)=\cos 43{}^\circ .$

Mà $\cos 83{}^\circ <\cos 63{}^\circ 4{1}'<\cos 62{}^\circ <cos43{}^\circ <\cos 40{}^\circ $

Nên $\cos 83{}^\circ <\cos 63{}^\circ 4{1}'<cos62{}^\circ <sin47{}^\circ <\sin 50{}^\circ .$

Câu 3.

Ta có $\cos B=\cos \left( 90{}^\circ -C \right)=\sin C=\frac{1}{3}.$

Mặt khác \[{{\sin }^{2}}C+{{\cos }^{2}}C=1\Leftrightarrow \cos C=\sqrt{1-{{\sin }^{2}}C}=\sqrt{1-{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\]

Suy ra $\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sqrt{2}}{4},\cot C=\frac{\cos C}{\sin C}=2\sqrt{2}.$

Bài tập nâng cao

Câu 4.

Ta có ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{7}}{3},\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{3\sqrt{7}}{7}.$

Khi đó $A=\frac{\tan \alpha +3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}+3.\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{3}{\sqrt{7}}}=\frac{17}{8}.$

Câu 5.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski ${{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ ta có

${{S}^{2}}={{\left( 4.\sin \alpha +3.\cos \alpha \right)}^{2}}\le \left( {{4}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)\Rightarrow {{S}^{2}}\le 25\Rightarrow S\le 5.$

Vậy $\max S=5.$ Đẳng thức xảy ra khi $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{4}{3}.$