Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1:

Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

a) $\sin 31{}^\circ ,\cos 52{}^\circ ,\sin 40{}^\circ ,\cos 80{}^\circ ,cos20{}^\circ ,\sin 39{}^\circ .$

b) $\tan 42{}^\circ ,\cot 72{}^\circ ,\tan 37{}^\circ ,\cot 70{}^\circ ,\tan 27{}^\circ ,\cot 50{}^\circ .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\cos 52{}^\circ =\cos \left( 90{}^\circ -38{}^\circ \right)=\sin 38{}^\circ .$

$\cos 80{}^\circ =\cos \left( 90{}^\circ -10{}^\circ \right)=\sin 10{}^\circ .$

$\cos 20{}^\circ =\cos \left( 90{}^\circ -70{}^\circ \right)=\sin 70{}^\circ .$

Suy ra $\sin 10{}^\circ <\sin 31{}^\circ <\sin 38{}^\circ <\sin 39{}^\circ <\sin 40{}^\circ <\sin 70{}^\circ .$

Vậy $\cos 80{}^\circ <\sin 31{}^\circ <\cos 52{}^\circ <\sin 39{}^\circ <\sin 40{}^\circ <\cos 20{}^\circ .$

b) Ta có $\cot 72{}^\circ =\cot \left( 90{}^\circ -18{}^\circ \right)=\tan 18{}^\circ .$

$\cot 70{}^\circ =\cot \left( 90{}^\circ -20{}^\circ \right)=\tan 20{}^\circ .$

$\cot 50{}^\circ =\cot \left( 90{}^\circ -40{}^\circ \right)=\tan 40{}^\circ .$

Khi đó: $\tan 18{}^\circ <\tan 20{}^\circ <\tan 27{}^\circ <\tan 37{}^\circ <\tan 40{}^\circ <\tan 42{}^\circ .$

Vậy $\cot 72{}^\circ <\cot 70{}^\circ <\tan 27{}^\circ <\tan 37{}^\circ <\cot 50{}^\circ <\tan 42{}^\circ .$

Chú ý: +) Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. +) Ta sẽ ưu tiên đổi các giá trị lượng giác của góc về sin và tang. $\cos \left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\sin \alpha ;$ $\cot \left( 90{}^\circ -\alpha \right)=\tan \alpha $. +) Với góc $\alpha $ từ $0{}^\circ $ đến $90{}^\circ ,$ khi góc $\alpha $ càng lớn thì giá trị $\sin \alpha ,\tan \alpha $ cũng càng lớn và ngược lại.

Ví dụ 2.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\sin B=\frac{4}{5}$, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Hướng dẫn giải

Ta có $\cos C=\sin B=\frac{4}{5}.$

Ta lại có ${{\sin }^{2}}C+{{\cos }^{2}}C=1\Rightarrow \sin C=\sqrt{1-{{\cos }^{2}}C}=\sqrt{1-{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}}=\frac{3}{5}.$

Suy ra $\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{3}{4}$ và $\cot C=\frac{\cos C}{\sin C}=\frac{4}{3}.$