Bài tập tự luyện dạng 1

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{{{20}^{2}}}{25}=16\left( cm \right).$

Mà $BH+CH=BC$ nên $CH=25-16=9\left( cm \right).$

Ta cũng có: $A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow AC=\sqrt{9.25}=15\left( cm \right)$.

Theo định lí Py-ta-go, ta có

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow BC=\sqrt{{{12}^{2}}+{{9}^{2}}}=15\left( cm \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:

$A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{{{12}^{2}}}{15}=9,6\left( cm \right)$.

Ta lại có $BC=BH+CH\Rightarrow CH=15-9,6=5,4\left( cm \right).$

Mặt khác $A{{H}^{2}}=BC.CH\Rightarrow AH=\sqrt{9,6.5,4}=7,2\left( cm \right).$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác DEF vuông tại D, đường cao DI, ta có:

$\frac{1}{D{{I}^{2}}}=\frac{1}{D{{E}^{2}}}+\frac{1}{D{{F}^{2}}}$

$\Rightarrow DI=\sqrt{\frac{D{{E}^{2}}.D{{F}^{2}}}{D{{E}^{2}}+D{{F}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{15}^{2}}{{.20}^{2}}}{{{15}^{2}}+{{20}^{2}}}}=12\left( cm \right).$

Ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{12}^{2}}+{{5}^{2}}=169$ và $B{{C}^{2}}={{13}^{2}}=169.$

Khi đó, $\Delta ABC$ có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}$ nên theo định lí đảo Py-ta-go, ta có tam giác ABC vuông tại A.

Mà AH là đường cao của tam giác ABC nên theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:

$AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{12.5}{13}=\frac{60}{13}\left( cm \right).$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:

$\left\{ \begin{array} & A{{B}^{2}}=BH.BC \\ A{{C}^{2}}=CH.BC \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}.$

Do đó

$\frac{BH}{CH}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=\frac{9}{16}\Rightarrow \frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}=\frac{BH+CH}{9+16}=\frac{125}{25}=5.$

Vậy $BH=9.5=45\left( cm \right),CH=16.5=80\left( cm \right)$.