II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1:Tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông

• Phương pháp giải

Bước 1: Xác định xem đề bài yêu cầu tính yếu tố nào của tam giác vuông, yếu tố nào đã cho. Bước 2: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tính độ dài.

Ví dụ: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, đường cao AH. Tính độ dài AC, BH, CH, AH. Biết $AB=6\,\,cm,BC=10\,\,cm.$ Hướng dẫn giải +) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=8\left( cm \right)$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: +) $A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{{{6}^{2}}}{10}=3,6\left( cm \right)$. +) $CH=BC-BH=6,4\left( cm \right)$. +) $A{{H}^{2}}=BH.CH\Rightarrow AH=\sqrt{3,6.6,4}=4,8\left( cm \right).$

• Ví dụ mẫu

Ví dụ 1:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A và đường cao AH. Biết $BC=15\,\,cm,AC=12\,\,cm.$ Tính AB, AH, CH.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\left( cm \right).$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

+) $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{9}^{2}}}+\frac{1}{{{12}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{25}{1296}\Rightarrow AH=7,2\left( cm \right)$

+) $A{{C}^{2}}=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{{{12}^{2}}}{15}=9,6\left( cm \right).$

Ví dụ 2:

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, có đường cao AH. Kẻ $HE\bot AB$, biết $HE=2,4\,cm,BH=3\,cm.$ Tính BE, AE, AH.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta BEH$ vuông tại H ta có:

$B{{H}^{2}}=B{{E}^{2}}+E{{H}^{2}}\Rightarrow BE=\sqrt{{{3}^{2}}-2,{{4}^{2}}}=1,8\left( cm \right)$.

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABH$ vuông tại H có đường cao HE, ta có:

$H{{E}^{2}}=BE.AE\Rightarrow AE=\frac{2,{{4}^{2}}}{1,8}=3,2\left( cm \right).$

Áp dụng định lí Py-ta-go cho $\Delta AEH$ vuông tại E, ta có:

$A{{H}^{2}}=A{{E}^{2}}+E{{H}^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{2,{{4}^{2}}+3,{{2}^{2}}}=4\left( cm \right)$

Ví dụ 3.

Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{D}=90{}^\circ ,\widehat{B}=60{}^\circ ,CD=30\,cm,CA\bot CB.$ Tính diện tích của hình thang ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có $\widehat{CAD}=\widehat{ABC}=60{}^\circ $ (cùng phụ với $\widehat{CAB}$)

Xét $\Delta ADC$ vuông tại D có $\widehat{DAC}=60{}^\circ $ nên $\Delta ADC$ là tam giác nửa đều.

Suy ra $AC=2AD.$

Theo định lí Py-ta-go ta có:

$A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( 2AD \right)}^{2}}=A{{D}^{2}}+{{30}^{2}}$

$\Leftrightarrow 3A{{D}^{2}}=900\Leftrightarrow A{{D}^{2}}=300$

$\Rightarrow AD=10\sqrt{3}\left( cm \right).$

Kẻ $CH\bot AB$. Ta có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{H}=90{}^\circ $ nên tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

Do đó $AH=CD=30\,cm;CH=AD=10\sqrt{3}\,\left( cm \right)$.

Trong tam giác ACB vuông tại C ta có: $C{{H}^{2}}=HA.HB.$

Suy ra: $HB=\frac{C{{H}^{2}}}{HA}=\frac{{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}}{30}=\frac{300}{30}=10\left( cm \right)$ $\Rightarrow AB=AH+HB=30+10=40\left( cm \right)$ ${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}CH\left( AB+CD \right)$ $=\frac{1}{2}.10\sqrt{3}.\left( 40+30 \right)=350\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right).$ Vậy ${{S}_{ABCD}}=350\sqrt{3}\left( c{{m}^{2}} \right).$