• Bài tập tự luyện dạng 5

Câu 1.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}+2m\]. Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\]. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành. Tìm m sao cho \[O{{H}^{2}}+O{{K}^{2}}=6\].

Câu 2.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2mx+4\]. Chứng minh rằng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\]. Gọi giao điểm của d với Oy là G; H và K là hình chiếu của A và B trên Ox. Tìm m để \[{{S}_{\Delta GHK}}=8\].

Câu 3.

Cho parabol \[(P):y={{x}^{2}}\] và đường thẳng \[d:y=2x+m\]. Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \[A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\], \[B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\]nằm về hai phía của trục tung sao cho \[{{S}_{\Delta AOM}}=3{{S}_{\Delta BOM}}\] (M là giao điểm của d với Oy).

Dạng 5. Bài toán liên quan đến độ dài, diện tích

Câu 1.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}+2m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}-2m=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( -{{m}^{2}}-2m \right)={{m}^{2}}-2m+1+{{m}^{2}}+2m=2{{m}^{2}}+1>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2\left( m-1 \right) \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-{{m}^{2}}-2m \\ \end{array} \right.\].

Vì H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành nên ta có \[O{{H}^{2}}={{x}_{1}}^{2}\]; \[O{{K}^{2}}={{x}_{2}}^{2}\].

Do đó \[O{{H}^{2}}+O{{K}^{2}}=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=6\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=6\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( m-1 \right)\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}-2m\] vào (∗∗), ta được

\[{{\left[ 2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-2\left( -{{m}^{2}}-2m \right)=6\Leftrightarrow 6{{m}^{2}}-4m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} & m=1 \\ m=-\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m\in \left\{ -\frac{1}{3};1 \right\}\] là giá trị cần tìm.

Câu 2.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2mx+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx-4=0\]. (∗)

\[{\Delta }’={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( -4 \right)={{m}^{2}}+4>0\], \[\forall m\].

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2m \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-4 \\ \end{array} \right.\].

Do \[ac=-4<0\] nên phương trình (∗) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] trái dấu, do đó A, B nằm khác phía với Oy.

Vì G là giao điểm của d với Oy \[\Rightarrow G\left( 0;4 \right)\] nên \[OG=4\].

Vì H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên Ox \[\Rightarrow HK=\left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|\].

Ta có \[{{S}_{\Delta GHK}}=\frac{1}{2}.GO.HK\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}} \right|+\left| {{x}_{2}} \right|=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left| {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right|=16\]. (∗∗)

Thay \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m\]; \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-4\] vào (∗∗), ta được

\[{{\left( 2m \right)}^{2}}-2.\left( -4 \right)+2.\left| -4 \right|=16\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+16=16\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=0\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=0\] là giá trị cần tìm.

Câu 3.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) ta có

\[{{x}^{2}}=2x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m=0\]. (∗)

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (∗) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] trái dấu \[\Leftrightarrow ac<0\Leftrightarrow -m<0\Leftrightarrow m>0\].

Theo định lí Vi-ét ta có \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2 \\ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-m \\ \end{array} \right.\].

Giả sử \[{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\].

Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và B trên Oy \[\Rightarrow AH=\left| {{x}_{1}} \right|\]; \[BI=\left| {{x}_{2}} \right|\].

Hai ∆AOM và ∆BOM có chung đáy OM nên tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao.

Theo bài ra, ta có

\[{{S}_{\Delta AOM}}=3{{S}_{\Delta BOM}}\Leftrightarrow \frac{{{S}_{\Delta AOM}}}{{{S}_{\Delta BOM}}}=3\Rightarrow \frac{\left| {{x}_{1}} \right|}{\left| {{x}_{2}} \right|}=3\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=3\left| {{x}_{2}} \right|\].

Mà \[{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}\] nên \[-{{x}_{1}}=3{{x}_{2}}\].

Kết hợp ta được hệ phương trình \[\left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ -{{x}_{1}}=3{{x}_{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} & {{x}_{1}}=3 \\ {{x}_{2}}=-1 \\ \end{array} \right.\].

Thay \[{{x}_{1}}=3\] và \[{{x}_{2}}=-1\] vào \[{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-m\] ta được \[m=3\] (thỏa mãn).

Vậy \[m=3\] là giá trị cần tìm.